1、商丹高新学校2019学年度第二学期高二年级开学检测数学（理科）试题一、选择题：1. i是虚数单位，复数等于()A. 12iB. 24iC. 12iD. 2i【答案】A【解析】【详解】，选A.2. 已知a，b，c满足cba，且acacB. c(ba)0C. cb20【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，求得的正负，再结合，则问题得解.【详解】由cba且ac0，知c0.由bc，得abac一定成立，即正确；因为，故，故错误；若时，显然不满足，故错误；因为，故，故错误.故选：.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.3. 若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】A【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解.详解：由复数的几何意义，得，则，则该复数对应点为，即点.点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.4. 设为等比数列的前项和，则( )A. 11B. 5C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设公比为，由，得，解得，所以故选D考点：等比数列的前项和.5. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”B. “”是“”的充分而不必要条件C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”D. 命题“若”，则“”的逆否命题为真命
3、题【答案】B【解析】【分析】根据命题的否命题以及一个命题的否定可知A、C真假，计算，根据充分、必要条件的概念可知B真假，最后根据原命题与逆否命题真假性相同可知D真假，可得结果.【详解】A错命题“若，则”的否命题为：“若，则”B对由或所以“”是“”的充分而不必要条件C错命题“，使得”的否定是“，均有”D错若，无意义,所以原命题为假命题，即逆否命题为假命题，故选：B【点睛】本题考查判断命题的真假，熟练掌握命题的否命题以及命题的否定区别，同时对充分条件、必要条件概念的理解，属基础题.6. 下面是关于复数的四个命题：， ：，：的共轭复数为， ：的虚部为，其中的真命题为（ ）A. ，B. ，C. ，D.
4、 ，【答案】C【解析】【分析】根据复数的模的计算公式、复数的乘法运算法则、共轭复数的定义以及复数的虚部求解并判断即可.【详解】由题可知：所以，故为假命题，故为真命题的共轭复数为，故为假命题的虚部为，故为真命题故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算，重在计算，属基础题.7. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，设，可得，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：设，轴，由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦
5、点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.8. 复数，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简复数为，可得，再利用等比数列的前项和公式求得的值【详解】解：复数，则，故选：【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位的幂运算性质，等比数列的前项和公式的应用，属于中档题9. 已知是不等式组 的表示的平面区域内的一点，为坐标原点，则的最大值（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，令目标函数，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，最大值为，故选D考点：简单的线性规划问
6、题10. 在中，若，则等于（ ）A. B. 12C. D. 28【答案】A【解析】【分析】直接利用余弦定理计算可得；【详解】解：因为，由余弦定理，即，所以故选：A【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.11. 已知定点，是椭圆上的动点，则的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义可知，然后计算并结合基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点所以所以即当且仅当，即所以的最小值为故选：C【点睛】本题考查椭圆的应用以及基本不等式的应用，审清题意，细心计算，属基础题.12. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，若，则的离
7、心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由知，由椭圆得定义知故选：C二、填空题：13. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该双曲线的虚轴长等于_【答案】【解析】【分析】根据抛物线的焦点可得双曲线的焦点，进一步可得参数，然后可得虚轴长.【详解】由题可知：抛物线的焦点坐标为又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以又，所以，则则双曲线的虚轴长等于故答案为：【点睛】本题考查抛物线与双曲线的综合应用，重在对题意的理解以及简单计算，属基础题.14. 在ABC中，则ABC的面积为_【答案】【解析】在 ABC中由可得，所以，故答案为点睛：三角形面积公式为，一般是指已知哪一个角就使用哪一
8、个公式与面积有关的问题一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角之间的转化15. 观察下列每个图形中小正方形的个数，以此规律，则第19个图中共有_个小正方形【答案】【解析】【分析】由题意结合等差数列的求和公式可得【详解】解：解：由题意可得， 所以故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出的代数式，考查了归纳推理的能力16. 若椭圆：和椭圆：的焦点相同，且给出如下四个结论：； ； 椭圆和椭圆一定没有公共点其中所有正确研究成果的序号是_（把你认为正确的的序号全写上）【答案】【解析】【分析】根据椭圆的性质及不等式的性质计算可得；【详解】
9、解：因为椭圆：和椭圆：的焦点相同，且所以，即，故成立；因为，所以，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，故成立，若在中，则，则有，故不成立；另一方面，所以，由于，所以，即，故成立；故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及不等式的性质的应用，属于中档题.三、解答题：17. 如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点，观察对岸的点，测得，且求该河段的宽度【答案】m【解析】【分析】根据题意可知，然后利用正弦定理可知，过点作，交于点，最后简单计算可得结果.【详解】由题可知：，所以又，所以如图所以即所以所以河的宽度为m【点睛】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理
10、以及三角形面积公式，重在计算，属基础题.18. 实数为何值时，复数在复平面内对应点分别在：（）虚轴上； （）第四象限【答案】（）或；（）【解析】【分析】将复数转化为形式，然后根据所对应的点，可得结果.【详解】由题可知：所以可知该复数所对应的点为（）由该复数所对应的点在虚轴上，所以或所以或；（）由该复数所对应的点在第四象限所以所以.【点睛】本题考查根据复数所对应点的位置求参数，本题重点在于对问题的理解以及计算，属基础题.19. 已知抛物线：（）过抛物线的焦点且斜率直线交于，两点，求；（）若直线交抛物线于，两点，且的中点，此时求方程【答案】（）；（）【解析】分析】（）首先求出焦点坐标，求出直线方程
11、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得；（）设，利用点差法求出直线的斜率，即可求出直线的方程；【详解】解：（）因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，过抛物线的焦点且斜率直线的方程为，联立方程得，消去得，设，所以，所以（）设，则，因为的中点，所以，所以，即，所以，即，所以直线的方程为，整理得【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦及中点弦的应用，属于中档题.20. 已知等差数列an的首项为，公差为b，且不等式的解集为x|x1或xb（1）求数列n的通项公式及前n项和Sn公式；（2）求数列的前n项和Tn【答案】（1）n2n1，snn2；（2）【解析】分析】（1）先将不等
12、式log2（x23x+6）2转化为x23x+20，根据不等式解集的意义及方程x23x+20的两根为x11、x2b结合利用韦达定理得出，b从而得出数列n的通项公式及前n项和Sn公式（2）令，利用裂项相消法得数列的前n项和Tn【详解】（1）不等式log2（x23x+6）2可转化为x23x+20，所给条件表明：x23x+20的解集为x|x1，或xb，根据不等式解集的意义可知：方程x23x+20的两根为x11、x2b利用韦达定理不难得出1，b2由此知n1+2（n1）2n1，snn2（2）令则【点睛】本题主要考查数列的裂项相消法求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想属于中档题
13、21. 在如图所示的多面体中，平面，平面，且，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点【解析】【分析】（）由， 是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到 （）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.【详解】（1）证明：， 是的中点，又平面，平面， （2）以为原
14、点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系则：， ， ， ， ， ， ， ，设平面的一个法向量，则： ，取， ， ，所以，设平面的一个法向量，则 取， ， ，所以，故平面与平面所成的二面角的正弦值为 （3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且， ， ， ，若直线与平面所成的的角为，则 ，解得，所以在棱上存在一点，使直线与平面所成角是，点为棱的中点【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.22. 如图已知椭
15、圆的中心在原点，焦点为，且离心率（）求椭圆的方程；（）设，过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在由四点，构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）依据题意可得，然后根据可得，最后可得椭圆方程.（）假设直线方程并于椭圆联立是韦达定理，可得中点，然后表示正方形区域的不等式，将中点坐标代入进行计算可得结果.【详解】（）由题可知：，所以又，所以椭圆的方程为（）由题可知：过点的直线斜率一定存在，设直线方程为，线段的中点所以所以由又，所以，则，因为，所以不可能在轴的右边又因为直线的方程为所以，即所以由可知：【点睛】本题考查椭圆的应用，直线与圆锥曲线的结合，往往会联立方程并使用韦达定理，考查分析问题的能力，重在理解与计算，属中档题.
