1、5.4.3正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象(重点)2掌握正切函数的性质(重点、难点)3掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易错点)1. 借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养2. 通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.学习了ysin x，ycos x的图象与性质后，明确了ysin x，ycos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值问题：类比ysin x，ycos x的图象与性质(1)ytan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？(2)正切函数的图象是连续的吗？提示：(1)ytan x是周期函数，且T，无最大、最
2、小值(2)正切函数的图象在定义域内不是连续的正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域 值域R周期奇偶性奇函数对称中心，kZ单调性在开区间，kZ内都是增函数1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心()(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xk，kZ.()(4)正切函数是增函数()提示由正切函数图象可知(1)，(2)，(3)，(4).答案(1)(2)(3)(4)2在下列函数中同时满足：在上递增；以2为周期；是奇函数的是()Aytan xBycos xCytan Dytan xCA，D的周期为，B
3、中函数在上递减，故选C.3函数ytan 3x的定义域为 因为3xk，kZ，所以x，kZ.4函数ytan的单调增区间是 ，kZ令kxk，kZ，得kxk，kZ即函数ytan的单调增区间是，kZ.有关正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y的值域是()A(1,1)B(，1)(1，)C(，1) D(1，)(2)函数y3tan的定义域为 (3)函数ylg(1tan x)的定义域为 思路点拨求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线(1)B(2)(3)(1)当x0时，1tan x0，1；当0x时，0tan x1，1.即当x时，函数y的值域是(，1)(
4、1，)(2)要使函数有意义应满足k，kZ，得x4k，kZ，所以函数的定义域为.(3)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.1求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ.(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.2解形如tan xa的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件1函数ylogtan的定义域是()A.B.C
5、.D.B由题意tan0，即tan0，kxk，kxk，kZ，故选B.2求函数ytan2tan1的定义域和值域解由3xk，kZ，得x(kZ)，所以函数的定义域为.设ttan，则tR，yt2t1，所以原函数的值域是.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】(1)(教材P213习题5.4T8改编)函数f(x)tan的周期为 (2)已知函数ytan，则该函数图象的对称中心坐标为 (3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycostan x.思路点拨(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定义法求周期(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x，kZ求出(3)先求定
6、义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f(x)的关系(1)(2)，kZ(1)法一：(定义法)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.法二：(公式法)f(x)tan的周期T.(2)由x(kZ)得x(kZ)，所以图象的对称中心坐标为，kZ.(3)定义域为，关于原点对称，又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数定义域为，关于原点对称，ycostan xsin xtan x，又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函数1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定义法(2)公式法：对于函数f
7、(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系提醒：ytan x，xk，kZ的对称中心坐标为，kZ.3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)tantan.解(1)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数f(x)是奇函数
8、正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开，所以它的单调区间只在(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.2如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较【例3】(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为 (2)求函数y3tan的单调区间思路点拨(1)利用ytan x在上为增函数比较大小，注意tan 1tan(1)(2)先将原函数化为y3tan，再由k
9、2xk，kZ，求出单调减区间(1)tan 2tan 3tan 4tan 1ytan x在区间上是单调增函数，且tan 1tan(1)，又2341，所以tan 2tan 3tan 4tan 1.(2)y3tan3tan，由k2xk，kZ得，x，kZ，所以y3tan的单调递减区间为，kZ.1将本例(2)中的函数改为“y3tan”，结果又如何？解由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，函数y3tan的单调递增区间是(kZ)2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何？解因为函数ylg x在(0，)上为增函数所以函数ylgtan x的单调递增区间，就是函数ytan x(tan x0)的递增
10、区间，即，kZ.1求函数yAtan(x)(A0，0，且A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间掌握2个知识点正切函数的图象、性质(1)利用单位圆中
11、的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图(2)正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较性质正切函数正弦函数、余弦函数定义域R值域R1,1最值无最大值为1最小值为1单调性仅有单调递增区间，不存在单调递减区间单调递增区间、单调递减区间均存在奇偶性奇函数正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数周期性TT2对称性有无数个对称中心，不存在对称轴对称中心和对称轴均有无数个1函数f(x)|tan 2x|是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数Df(x)|tan(2x)|tan 2x|f(x)为偶函数，T.2若tan x1，则()A2k
12、x2k(kZ)Bx(2k1)(kZ)Ckxk(kZ)Dkxk(kZ)D因为tan x1tan.所以kxk，kZ.3比较大小：tan tan .因为tan tan ，tan tan ，又0，ytan x在内单调递增，所以tan tan ，即tan tan .4求函数ytan(x)，x的值域为 (，1)ytan(x)tan x，在上为减函数，所以值域为(，1)5求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心解由k，kZ，得x2k，kZ，函数的定义域为.T2，函数的最小正周期为2.由kk，kZ，得2kx2k，kZ，函数的单调递增区间为， kZ.由，kZ，得xk，kZ，函数图象的对称中心是，kZ.
