1、第3讲 均值不等式及其应用学校_ 姓名_ 班级_ 一、知识梳理1.均值不等式如果a，b都是正数，那么，当且仅当ab时，等号成立.数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用均值不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.二、 考点和典型例题1、利用均值不等式求最值【典例1-1】（2022辽宁鞍山二模）已知正实数a、b满足，则的最小
2、值是（）ABC5D9【答案】B【详解】，当且仅当时等号成立.故选：B.【典例1-2】（2022山东潍坊二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（）ABCD2【答案】B【详解】因为，所以 ，当且仅当时等号成立，因为，所以，即，所以，即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，故选：B.【典例1-3】（2022天津红桥一模）设，若，则的最小值为（）A6B9CD18【答案】B【详解】解：，且，且，当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9；故选：B【典例1-4】（2022天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知，则的最小值为_【答案】【详解】，当且仅当析，时，等号成立.故答案为：【典例1-5】（2
3、022天津南开一模）若，则的最小值为_【答案】#【详解】由题意，得：，设 ，则 ，故 ，当且仅当 ，即 时取得等号，故的最小值为，故答案为：2、均值不等式的综合应用【典例2-1】（2022江苏涟水县第一中学高三期中）已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（）A19B23C25D85【答案】B【详解】令且，则，而，所以，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以，即最小值为23.故选：B【典例2-2】（2022陕西渭南二模（理）若对x，都有成立，则实数a的最小值是（）ABCD【答案】B【详解】由，得，所以，当且仅当时等号成立，所以，由，得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为；由题
4、意知，恒成立，所以，故a的最小值为.故选：B.【典例2-3】（2022河北高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（）A8B6C4D2【答案】D【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2故选：D.【典例2-4】（2022安徽黄山二模（理）设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为_.【答案】【详解】，化简得：，由正弦定理可得：,， ，即， , 或，即或，又，即,，又，当仅当时等号成立，即，.故答案为：【典例2-5】（2022浙江高三开学考试）已知正实数a，b，c，则的最小值为_【答案】# 【详解】由正实数a，b，可得 ，所以而
5、，当且仅当 即 时取等号，故 ，当且仅当 时，即 时取等号，故答案为：3、均值不等式的实际应用【典例3-1】两直立矮墙成二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（）A16mB18mCD【答案】B【详解】设，设篱笆长度为y，则，梯形的面积为，整理得，当，即时等号成立，所以篱笆总长度最小为18m故选：B【典例3-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点
6、，设宝塔底部E点和这三个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60，米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的高度为（） A米B米C米D200米【答案】C【详解】在中，由正弦定理得，再由余弦定理：，又，所以，设该无人机离地面的高度为米，则，当且仅当：，即取等号，此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的高度为米.故选：C【典例3-3】某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.
7、要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为_.【答案】6【详解】设矩形空地的长为m，则宽为m，依题意可得，试验区的总面积，当且仅当即时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为.故答案为：6【典例3-4】蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）路段长，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为_秒.【答案】87.75#【详解】不妨设，当且仅当时等号成立.千米/小时米/秒此时红灯设置时间为秒.故答案为：
8、【典例3-5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消耗费为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)请写出的表达式；(2)隔热层建多厚时，达到最小，并求出最小值【答案】(1)(2)当隔热层修建为厚时，总费用达到最小值为70万元【解析】(1)解：由题意，得，所以，所以；(2)解：由（1）知，所以，当且仅当，即时取等号，所以当隔热层修建为厚时，总费用达到最小值为70万元
