1、第1讲 集合与常用逻辑用语学校_ 姓名_ 班级_ 一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR2.集合间的基本关系(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作AB(或BA).(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作AB(或BA).(3)相等：若AB，且BA，则AB.(4)
2、空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4.集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA.(2)AAA，AA，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A.5.全称量词与存在量词(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示.6.全称量词命题和存在量词
3、命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有q(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记xM，q(x)xM，p(x)否定xM，非q(x)xM，非p(x)7.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp二、 考点和典型例题1、 集合的性质【例题1-1】（2022北京密云高三期中）已知集合，且，则可以是（）ABCD【详解】因为，又，所以任取，则，所以可能为，A对，又 ，不可能为，B，C，D错，故选：A.【例题1-2】（2022
4、山东聊城二模）已知集合，则集合中元素个数为（）A2B3C4D5【详解】解：因为，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C【例题1-3】（2022海南海口模拟预测）已知集合，若，则实数a（）A2B1C0D-1【详解】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，又因为，所以，所以即a1故选：B.【例题1-4】（2022湖南雅礼中学二模）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（）（1）（2）（3）（4）A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（2）（4）【详解】集合有两个元素：和，故选：B2、 集合的运算【例题2-1】（2022广东韶关二模）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，
5、2，B=2，3，则 （）A4，5B1，2C2，3D1，2，3，4【详解】，则，故选：A【例题2-2】（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为，集合，则（）ABCD【详解】集合，解得，由集合交集运算得到：.【例题2-3】（2022河北唐山二模）设全集，集合，则（）ABCD【详解】解：因为，所以，又；所以；【例题2-4】（2022广东二模）已知集合，则（）ABCD【详解】集合，则，故选：C【例题2-5】（2022广东潮州二模）已知集合或，则（）ABCD或【详解】因为或，所以，故选：B3、 量词命题的否定、充分条件和必要条件【例题3-1】（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是
6、（）A，B，C，D，【详解】由特称命题的否定知原命题的否定为：，.故选：C.【例题3-2】（2022山东济宁二模）“”的一个充分不必要条件是（）ABCD【详解】因为，所以，由于，而，故A选项满足题意；令，则满足，但不满足，故B错误；由得：，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；令，则满足，但不满足，D错误.故选：A【例题3-3】（2022江西南昌二模（文）已知，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【详解】对于不等式，作出曲线与的图象如下图所示：由图象可知，不等式的解集为，因为，因此，是的必要不充分条件，故选：B.【例题3-4】（2022陕西安康市高新中
7、学三模（理）直线与函数的图象有两个公共点的充要条件为（）ABCD【详解】由题意知直线定点，函数的图象是以为圆心，1为半径的半圆，如图所示易求，的斜率分别为0，由图知，当l介于与之间（含）时，l与函数的图象有两个公共点，即故选:C【例题3-5】（2022山西吕梁模拟预测（理）“，使得成立”的充要条件是（）ABCD【详解】，等价于，又，当且仅当时等号成立，即，故故选：A4、 综合应用【例题4-1】（2022陕西武功县普集高级中学高三阶段练习（理）已知条件，条件(1)若，求(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围【解析】(1)由，得，所以，由，得，所以当时，.所以所以；(2)由（1）知，是的必要不充
8、分条件，所以，解得 所以实数的取值范围为.【例题4-2】（2022北京密云高三期中）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.(1)当时，是否存在理想集？若存在，求出相应的；若不存在，请说明理由；(2)当时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的 以及满足条件的；若不存在，请说明理由；(3)证明：当时，.【解析】(1)依题意，要为理想集，当时，显然，有，而不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，而，在中任取3个数，有4种结果，；，它们都不符合理想集定义，所以，当时，不存在理想集.(2)当时，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定义，5
9、元子集，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有与两种，但这3数和不为偶数，即存在5元子集不符合理想集定义，而的6元子集是，是偶数，是偶数，即的6元子集符合理想集定义，是理想集，所以，当时，存在理想子集，满足条件的可分别为或.(3)当时，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，要为理想集，显然符合理想集的定义，满足条件的分别为或，的6元子集中含有的共有个，这10个集合都符合理想集的定义，的6元子集中含有不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为，显然有为偶数，即的6元子集中含有不含6的5个都符合理想集的定义，的6
10、元子集中含有不含5的有5个，它们是，它们对应的可依次为：；，即的6元子集中含有不含5的5个都符合理想集的定义，的6元子集中含有不含3的有5个，它们是，它们对应的可依次为：；，即的6元子集中含有不含3的5个都符合理想集的定义，的6元子集中含有之一的有3个，它们是，对应的可依次为：；，即的6元子集中含有之一的3个都符合理想集的定义，因此，的所有个6元子集都符合理想集的定义，是理想集，的7元子集有个，其中含有的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含的有3个，它们是，对应的可依次为：；，即的所有8个7元子集都符合理想集的定义，是理想集，的8元子集是，对应的可以为：，因此，是理想集，因此，的6元子
11、集，7元子集，8元子集都是理想集，所以当时，.【例题4-3】（2022天津汉沽一中高三阶段练习）不等式的解集是，关于x的不等式的解集是.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.(3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【解析】(1)由的解集是，解得：.当m=1时，可化为，解得.所以.(2)因为，所以.由（1）得：.当时，由可解得.要使，只需，解得：；当时，由可解得.不符合，舍去；当时，由可解得.要使，只需，解得：；所以，或.所以实数的取值范围为：.(3)设关于x的不等式（其中）的解集为M，则；不等式组的解集为N，则；要使p是q的必要不充分条件，只
12、需NM，即，解得：.即实数a的取值范围.【例题4-4】（2022北京丰台二模）设，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点(1)已知，为聚合区间，求t的值；(2)已知，为聚合区间（）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点求证：存在k，使得；（）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含求证：存在不同的i，使得【解析】(1)由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故(2)（）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间（）若存在 则或，与已知条件矛盾不妨设 ，则否则，若，则，与已知条件矛盾取，设当时，又，所以，所以，即，所以，此时取，则，当时，同理可取，使得，综上，存在不同的i，使得【例题4-5】（2022北京朝阳一模）对非空数集，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.(1)若集合，写出集合与；(2)若集合满足，且，求证：数列，是等差数列；(3)设集合满足，且，集合（，），求证：存在集合满足且.【解析】(1)集合，；(2)，集合中至少包含个元素，所以，又，由题可知，又为整数，中的所有元素为，又是中的个元素，且，即，数列，是等差数列；(3)集合，设，其中，设是首项为，公差为的等差数列，即，令集合，则，即，所以，故存在集合满足且.