1、第6讲双曲线组基础关1(2019唐山统考)“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k25，“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2(2019浙江高考)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A. B1 C. D2答案C解析由题意可得1，e .故选C.3双曲线9x216y21的焦点坐标为()A. B.C(5,0) D(0，5)答案A解析将双曲线的方程化为标准形式为1，所以c2，所以c，所以焦点坐标为.4设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的
2、点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由题意，知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|80)的两条渐近线均与圆C：x2y24x30相切，则该双曲线的实轴长为()A3 B6 C9 D12答案B解析圆C的标准方程为(x2)2y21，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r1.双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d1，所以3b2a2.由1，得b23，则a29，所以2a6.故选B.6(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0
3、，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.答案A解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A.7已知双曲线C：x21，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为()A8xy150 B8xy170C4xy90 D4xy70答案A解析设A，B的坐标分别为
4、(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1x24，y1y22.所以16(x1x2)2(y1y2)0，所以kAB8，故直线l的方程为y18(x2)，即8xy150.8(2019东北三省四市教研联合体模拟)已知矩形ABCD，AB12，BC5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为_答案解析解法一：不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，则c6.如图1，在1中，令x6，得y2b2，即b225.由解得所以a4，所以离心率e.解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，易知AC13.由双曲
5、线的定义可知2a|AC|BC|8，即a4.又c|AB|6，所以离心率e.9(2020武汉摸底)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_答案2解析由题意可知A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.因为x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，所以当x1时，取得最小值2.10P是双曲线1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则PF1F2的内切圆圆心的横坐标是_答案a解析点P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a，若设PF1F2
6、的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点由切线长定理，则有|PF1|PF2|(|PB|BF1|)(|PC|CF2|)|BF1|CF2|AF1|F2A|(cx)(cx)2x2a，所以xa.所以内切圆圆心的横坐标为a.组能力关1(2019厦门一模)已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|2，ABF的面积为8，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx答案B解析设双曲线的另一个焦点为F，由OAOBOFOFc，知圆
7、的方程为x2y2c2，点F(c,0)到直线yx(即bxay0)的距离为b，所以SABF2cb8，即bc8.由得y，所以|MN|2，所以b2c，所以b2，c4，所以a2，所以C的渐近线方程为yx.2(2019河南六市第二次联考)已知直线y2b与双曲线1(a0，b0)的斜率为正的渐近线交于点A，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若tanAF2F1，则双曲线的离心率为()A. B2 C4或 D4答案D解析由得点A(2a,2b)，所以tanAF2F1.所以4b215(4a24acc2)，即4(c2a2)15(4a24acc2)，即64a260ac11c20，所以11e260e640.解得e4或e.经
8、检验，当e时，tanAF2F1，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.3(2019成都七中高三上学期入学考试)若双曲线1(a0，b0)上存在点P与右焦点F关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析过右焦点F且与渐近线垂直的直线方程为y(xc)，不妨取直线y(xc)设渐近线yx与直线y(xc)的交点为M.联立解得x故点M的坐标为.由中点坐标公式，得点P的坐标为.将其代入双曲线的方程，得1，化简，得c25a2，由此，得e.4(多选)下列双曲线中，渐近线方程是yx的是()A.1 B.1C.1 D.1答案ABC解析对于A，渐近线方程为yxx；对于B，渐近线方程为yxx；对
9、于C，渐近线方程为yx；对于D，渐近线方程为yx.故选ABC.5(多选)过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则下列满足条件的直线l为()Ax Bx2y10Cxy0 Dxy0答案ACD解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x，由得y2，|AB|y1y2|4满足题意当直线l的斜率存在时，其方程为yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k220.当2k20时，不符合题意，当2k20时，x1x2，x1x2，|AB|4，解得k，直线l的方程为xy0或xy0.综上可知，选ACD.6已知等腰三角形ABC的底边端点A，B在双曲线1的右支上，顶
10、点C在x轴上，且AB不垂直于x轴，则顶点C的横坐标t的取值范围是_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x0.根据题意，得两式相减得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，于是x0(x1x2)2y0(y1y2)0，即kAB.又kMC，由kMCkAB1，得x02(x0t)0，即t.7已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF的周长最小时，该三角形的面积为_答案12解析如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x21，可知a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF
11、|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当|AP|PF1|最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.8(2020济南摸底)已知双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线的方程是2xy0，则双曲线E的离心率e_；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2y22x4ym0相切，则实数m的取值范围是_答案3(3,5)解析
12、因为双曲线E的一条渐近线的方程是2xy0，所以2，所以e 3.又因为双曲线E的实轴长为2，所以2a2，即a1，所以c3，F(3，0)由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足条件解得3m0，b0)，则由题意得解得故双曲线的方程是3x2y21.(2)联立得(3k2)x22kx20，由0且3k20，得k0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解(1)由题意，知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，.b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.由t，得(16，12)(4t,3t)，t4，点D的坐标为(4，3)