1、数论函数【内容综述】本讲介绍数论中常见的一些函数的概念、性质及其应用，主要有除数函数自然数n的正因数的个数函数；自然数n的全部正因数的和函数；欧拉函数设n是大于1的自然数，则欧拉函数是表示与n互素且不大于n的自然数的个数；（高斯函数或称方括号函数X在下讲介绍）为书写清楚，同学们应熟悉连加符号“”与连乘符号“”：；特别是“”表示对称式的和；“”表示对称式的积abc；【要点讲解】1约数个数函数2约数和函数3欧拉函数(n)1 约数个数函数定义1 设，则的正约数的个数称为函数。定理1 设，且是质数，则略证： 由乘法原理，约数系由、的不同取法而生成，它们的取法分别有种（含不取该约数的1种取法），故得证例
2、1. 求24的正约数个数。解： 事实上，易求得约数分别是1，2，3，4，6，8，12，24；个数正是8个。2 约数和函数定义 设，则称的正约数和为函数。定理2 自然数的正约数和函数（其中为的素数，）。略证 注意到（），展开后，其项数恰为的约数个数，又每项皆形如，可见每项皆自然数的约数且每个约数只出现一次，由此可见该积即，于是有例2. 求780的正约数和。解： 定理3 若、是互质的自然数，即(a，b)=1，则证明： 设， ，故与各不相同（i=1，2，j=1，2，m）3.欧拉函数 定义 设互素且不大于的自然数的个数(),称为欧拉函数。如，易证是素数（每个小于的自然数都与它互素）；反之可见，若是合数
3、，必有。关于欧拉函数，有以下性质定理定理 设P是素数，且则证明 P是素数，显然有与互素的充要条件是，即有：，反之若，且知在1和之间，有以下个数是p的倍数：，而其余的数都与互素，从而可知不超过且与互素的自然数个数。当自然数的素因数分解式中，不只包含一个素因数时，有定理5 设大于1的自然数的素因数分解式为，其中则有 证明：因为素因数的个数，故考虑采用数学归纳法（下设表有k个素因数的自然数）。（i）当；（ii）设；注意到加入第个k+1素因数后，有，且当于是由归纳假设就有从而时，定理成立；综上，对任意（的补证： 引理 设、cN，则(i)若则,从而可见故同理可证（ii）若，则存在素因数，由同理，若再证定
4、理 若，则 （）注意到，故中有一个数为1时，（）显然成立，现假设并把从1到的自然数排成长方阵：1 2 r m m+1 m+2 m+r 2m 2m+1 2m+2 2m+r 3m (n-1)m+1 (n-1)m+2 (n-1)m+r nm 则为上面这组数中与互素的自然数的个数，由引理知它等于这组数中同时与都互素的自然数个数。注意到(km+r，m)=(r，m)，所以当时，第列中的每一个数都与互素，从而这列数中共有列数与互素。下面再证这列的每列数中，恰好有个自然数与互素，这样就能证明共有个数，既与互素，也与互素，即定理为真。事实上，从第列看，这列中的个数中，任意两个数被除时，所得余数都不会相同。（若不
5、然，设除同余，则，其中，于是有因题设）可见这第列中的个数被除的余数分别是0，1，2，3，（-1）（不计顺序），而这个数中与互素的自然数个数正是，即第列中存在个与互素的数。这就证明了。例3 求与300互素且不超过300的自然数的个数。 解 所求的数即 例4. 试判断是否存在自然数，使解 设）则即这里应估计到中必有一个是奇数（否则若它们全是偶数，则，于是但必是2的倍数，但它不等于14，（否则，只有，且，不妨令 （）而7是素数，式中也是素数，因而不可能成立！），于是只能是因此也不是成立的！综上知，不存在。例5. 试证：证明：（i）当是奇数时，注意到，于是（ii）当是偶数时，不妨设综i,ii，原命题成
6、立。例6. 证明的值或者是1或者是偶数，其中。证明： （i）当=1，2时，（）=1； （ii）当2时，若则是偶数；若，于是【能力训练】1证明自然数的所有正约数的欧拉函数值的和为（即）2设。3记不大于自然数而与互素的数（共，求证。参考答案【能力训练】1首先注意，若自然数。这是因为不大于而与有公约数的数只能是，即。现记，并注意到：，于是有不大于而与以为最大公约数的数有个；不大于而与以为最大公约数的数有个；不大于而与以为最大公约数的数有个；而任何一个不大于的数与最大公约数只能是之一,于是,即.2注意3.由可见，1与15-1；2与15-2；4与15-4；都是小于15且互素的数，一般而言，若则有（若不然，设则，于是矛盾）。记为不大于且与互素的所有自然数，则 也是不大于且与互素的所有自然数,从而