1、题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.(2015甘肃兰州一中三模)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=35,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于点D,若ADC的面积为15.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点1,32,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,-32,求直线l的方程.3.(2015浙
2、江重点中学协作体测试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,且经过点P1,32.过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1l2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.4.已知抛物线C:y2=2px(p0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为27.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设PF=1FD,PG=2GD,试问1+2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知椭圆C
3、:x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足OS+OT=tOP(O为坐标原点),求实数t的取值范围.6.(2015湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(ab0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.若|AC|=|BD|,
4、求直线l的斜率;设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.参考答案1.解:(1)设左焦点F的坐标为(-c,0),其中c=a2-b2,e=ca=35,a=53c,b=43c.A0,43c,B-53c,0,C0,-43c,直线AB的方程为-3x5c+3y4c=1,直线CF的方程为-xc-3y4c=1,联立解得点D的坐标为-54c,13c.ADC的面积为15,12|xD|AC|=15,即1254c243c=15,解得c=3,a=5,b=4,椭圆C的方程为x225+y216=1.(2)由(1)知,点A的坐标为(0,4),点D的坐标为-154,1.假设存在这样
5、的两个圆M与圆N,其中AD是圆M的弦,AC是圆N的弦,则点M在线段AD的垂直平分线上,点N在线段AC的垂直平分线y=0上.当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有A,M,N在一条直线上,且|AM|=|AN|.M,N关于点A对称.设M(x1,y1),则N(-x1,8-y1),根据点N在直线y=0上,y1=8.M(x1,8),N(-x1,0),而点M在线段AD的垂直平分线y-52=-54x+158上,可求得x1=-25140.故存在这样的两个等圆,且这两个圆的圆心坐标分别为M-25140,8,N25140,0.2.解:(1)由题意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b
6、=1.故椭圆C的方程是x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.04k2+1t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2t1+4k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2.因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OAOB,x1x2+y1y2=0.因
7、为x1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0,所以5t2=4+4k2.因为0,所以4k2+1t2,解得t32.又设A,B的中点为D(m,n),则m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2.因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=-1k=-32-n-m,得t1+4k2=12.由t1+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2=-35.当t=-35时,0不成立.当t=1时,k=12,所以直线l的方程为y=12x+1或y=-12x+1.3.解:(1)由ca=12,则a=2c,a2=4c2,b2=3c2,将点P的坐标代入椭圆方程得c2=1,故
8、所求椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积为S=6.若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-1k.直线l1的方程为y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x+1),x24+y23=1,消去y整理,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,|x1-x2|=12k2+14k2+3,|AB|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.注意到方程的结构特征,或图形的对称性,可以用-1k代替中
9、的k,得|CD|=12(k2+1)3k2+4,S=12|AB|CD|=72(1+k2)2(4k2+3)(3k2+4).令k2=t(0,+),S=72(1+t)2(4t+3)(3t+4)=6(12t2+25t+12)-6t12t2+25t+12=6-612t+12t+256-649=28849(当且仅当t=1时等号成立),S28849,6.综上可知,四边形ABCD的面积S28849,6.4.解:(1)由已知:直线m的方程为y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p,且线段AB的中点为32p,
10、p,由已知(7)2+32p2=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k0),则D-2k,0,联立y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0.由0得k0,k212.设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2.由OS+OT=tOP,当t=0时,直线l为x轴,点P在椭圆上适合题意;当t0时,得tx0=x1+x2=8k21+2k2,ty0=y1+y2=k(x1+x2-4)=-4k1+2k2,x0=1t8k21+2k2,y0=1t-4k1+2k2.将上式代入椭圆方程,得32k4t2(1+2k2)2+16k2t2(1+2k2)2=1,整理,得t2=16k21+2k2.由k212知,0t20,因此AFM是锐角,从而MFD=180-AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.