1、安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 文本试卷4页总分150分考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3若角的终边经过点
2、，则（ ）A B C D4函数的部分图象大致是（ ）A B C D5已知数列为等差数列，若，则（ ）A671 B672 C2013 D20146执行如图所示的程序框图，若输出的结果为120，则判断框内应补充的条件为（ ）A B C D7“为锐角三角形”的充分不必要条件是（ ）ABC成等差数列，且D8已知向量的夹角为，点C为的平分线上的一点，且，则（ ）A B C2 D39托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
3、A B C D10已知圆与x轴交于两点，点P在直线上，过圆O上的任意两点分别向l作垂线，垂足为，以下说法不正确的是（ ）A的最小值为B为定值C的最大值为D当为直径时，四边形面积的最大值为1611一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切过圆柱上底面圆周上一点作一个平面，使得与小球恰好相切，则与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ）A B C D12已知函数，函数与的图象关于直线对称，令则方程解的个数为（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若实数满足则的最小值为_14随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费
4、市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x（单位：百人）与销售额y（单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示x23456y2.23.86.57.0已知x与y具有线性相关关系，且线性回归方程，则表中污损数据应为_15已知向量，且，那么的最大值为_16小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支，如图，O为双曲线的一支的顶点小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12
5、分）在中，已知分别是角的对边，为的面积，（1）求C；（2）若点D在直线上，且，求线段的长度18（12分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下（i）请根据频率分布直
6、方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ii）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率19（12分）如图，四棱锥的各侧棱长均为2，底面为矩形，过底面对角线作与直线平行的平面，且平面交于点E（1）试确定点E的位置，并说明理由；（2）求三棱锥的体积20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在C上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，的周长为定值6，且当时，（1）求C的方程（2）若斜率为的直线l交C于点M，N，C的左顶点为A，且成等差数列，证明：直线l过定点21（12分）已知函数（1）若关于x的不等
7、式对任意的正数x恒成立，求实数a的取值范围（2）证明：（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，（1）求C的极坐标方程；（2）若直线l过点，且与C交于两点，点P恰好为线段的中点求，直线l的斜率及23选修45：不等式选讲（10分）已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围文科数学一、选择题1D 【解析】由题意，得，故2D 【解析】，对应点为，在第四象限3A 【解
8、析】因为角的终边过点，所以，所以4B 【解析】易证函数为奇函数，排除A，C；当时，排除D5B 【解析】设公差为d，由得则由，解得6D 【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，7C 【解析】A选项，由，可得A为锐角，不满足条件B选项，若为锐角三角形，则，则，即，同理可得，所以，若，不等式成立，但此时A并非锐角，不满足条件C选项，因为成等差数列，所以；又由，可得均小于，所以为锐角三角形D选项，由，得，所以C为锐角，无法确定的形状8C 【解析】如图，过点C作，则可得四边形为菱形，所以设，则，则，所以又因为，所以9B 【解析】设，由托勒密定理知，所以又因为，所以10B 【解析】设，则N关于l对称
9、的点为，所以的最小值为，故A正确；不是定值，故B错误；当最小，且当为圆O的切线时，最大，此时，故C正确；在四边形中，且因此，当最长，即时面积最大，最大值为16，故D正确11D 【解析】当平面与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时，如右图，由得，所以该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值为12D 【解析】因为函数与的图象关于直线对称，所以，所以的图象如图所示方程可化为，即求函数与的图象的交点个数当时，的图象恒过点，此时有两个交点；当时，与的图象有一个交点；当时，设斜率为的直线与的切点为，由斜率，所以，所以切点为，此时直线方程为，即，所以直线与恰好相切，有一个交点综上，此方程有4个解二、填空题13
10、1 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示令，则作出直线，将直线l平移经过点M时在y轴上的截距最小，此时，所以的最小值为155.5 【解析】由表可知因为线性回归方程过点，所以，所以表中数据应为15 【解析】由题意可知，即令，即求的最大值，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，所以当时，即的最大值为16 【解析】设该双曲线的方程为因为渐近线相互垂直，所以由题意知，解得，故该双曲线的一个焦点位于点O以下三、解答题17解：（1）由余弦定理，得，（1分）所以，即， （2分）解得 （4分）因为，所以 （6分）（2）由题意及（1）知，在中，因为，所以 （8分）所以在中， （12分）18解
11、：（1）由题意知，小吃类所占比例为，按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩（家），果蔬类商贩（家） （2分）（2）（i）该果蔬经营点的日平均收入为 （5分）（）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为，其余4天为随机抽取两天的所有可能情况为：，共15种， （9分）其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：，共9种 （11分）所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为 （12分）19解：（1）点E为的中点 （1分）理由如下：连接交于点O，连接，如图因为平面平面，且平面平面，所以在中，因为O为中点，所以E为中点 （5分）（2）
12、如图，连接由题意知，所以；同理，因为，所以底面（7分）又因为，所以，所以， （9分）所以 （12分）20（1）解：由题意知，所以 （3分）所以椭圆C的方程为 （4分）（2）证明：由题意知，设直线，与椭圆C方程联立，得整理得设，则 （7分）， （10分）所以 （11分）所以，恒过点 （12分）21（1）解：，由，得对任意的正数x恒成立 （1分）解法一：即对任意的正数恒成立，令，只需 （2分）则，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减 （4分）所以所以，即实数a的取值范围为 （5分）解法二：令，则 （2分）当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以， （4分）所以，即所以实数a的
13、取值范围为 5分（2）证明：由（1）知，当时，对任意的正数x恒成立，即，当时等号成立 （8分）令，则 （10分）所以，累加，得，即 （12分）22解：（1）由题意，得曲线C的直角坐标方程为， （2分）即，所以C的极坐标方程为 （5分）（2）解法一：由（1）知曲线C为圆，圆心若P为相交弦的中点（如图），由垂径定理得 （7分）所以直线的斜率 （8分）在中， （10分）解法二：设直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角）， （6分）代入曲线C的直角坐标方程，得设点对应的参数分别为，因为点P恰好为线段的中点，所以， （7分）即，所以直线l的斜率为 （8分）又，所以 （10分）23解：（1）当时， （1分）当时，解得； （2分）当时，不等式无解； （3分）当时，解得 （4分）综上，不等式的解集为 （5分）（2）由题意知，所以 （7分）记，则 （8分）所以，所以，所以实数m的取值范围为 （10分）
