1、第15讲 解三角形及其应用学校_ 姓名_ 班级_ 一、知识梳理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C2R常见变形cos A；cos B；cos C(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为
2、钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高).(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).4.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).5.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).6.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.二、 考点和典型例
3、题1、利用正、余弦定理解三角形【典例1-1】（2022黑龙江哈九中模拟预测（文）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，,，则的值为（）ABCD【典例1-2】（2022江西模拟预测（理）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（）A4B5C6D7【典例1-3】（2022黑龙江哈九中模拟预测（理）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的值为（）ABCD【典例1-4】（2022河南宝丰县第一高级中学模拟预测（文）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（）ABCD【典例1-5】（2022天津耀华中学一模）在中，内角，所对的边分别为，.(1)求的值
4、；(2)求；(3)求的值.【典例1-6】（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，.(1)若，求的值；(2)若，求BE的长.【典例1-7】（2022全国高三专题练习（理）如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且_，求线段的长.从下面中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.ABC的面积；.2、判断三角形的形状【典例2-1】（2022江苏南通模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（）A能制作一个锐角三角形B能制作一个直角三角形C能制作一个钝角三
5、角形D不能制作这样的三角形【典例2-2】（2022吉林长春市第二实验中学高一期中）在中，角，所对的边分别为，下列结论正确的是（）A若，则为锐角三角形B若为钝角三角形，则C若，则为等腰直角三角形D若，则符合条件的只有一个【典例2-3】（2022辽宁铁岭市清河高级中学高一期中）在中，已知，那么一定是（）A等腰直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【典例2-4】（2022河南安阳一中高一阶段练习）若在，则三角形的形状一定是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【典例2-5】（2022全国高一单元测试）在中，角、的对边分别为、，若，则是（）A钝角三角形B等边三角形C直角三
6、角形D等腰直角三角形3、和三角形面积有关的问题【典例3-1】（2022江西二模（理）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为()A1B3C2D4典例3-2】（2022江西模拟预测（文）在中，则的面积为（）ABCD典例3-3】（2022江西宜春模拟预测（文）的内角的对边分别为，若，则的面积为（）ABCD典例3-4】（2022内蒙古赤峰三模（文）的三个内角，的对边分别为，且(1)求；(2)若，求的面积【典例3-5】（2022湖南模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求证：；(2)若，且，求的面积4、解三角形的实际应用【典例4-1】（2022吉林吉
7、林模拟预测（文）位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45相距n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（）A30B60C75D45【典例4-2】（2022江西模拟预测（文）翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔玉虹塔相呼应塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次
8、观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（）米？（参考数据：）A68B70C72D74【典例4-3】（2022全国高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30，45，并从P点观测到M，N点的视角为45，则M，N之间的距离为（）A米B米C米D米【典例4-4】（2022陕西西安中学一模（理）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；(2)求隧道口间的距离.【典例4-5】（2022广东湛江二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.(1)求、两地之间的距离；(2)求.
