1、3等比数列3.1等比数列第1课时等比数列内容标准学科素养1.掌握等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式，并会应用.3.能够应用定义判断一个数列是否为等比数列.增强数学抽象形成逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第17页基础认识知识点一等比数列的定义预习教材P2123，思考并完成以下问题观察下面几个数列1，2，4，8，16，1，1，1，1，1，1，1，2，4，8，(1)上面几组数列是等差数列吗？为什么？提示：都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义(2)如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？提示：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数知识梳理等比数列
2、的定义(1)文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)(2)符号语言q(q为常数且q0，nN)知识点二等比数列的通项公式思考并完成以下问题1你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？提示：能.q或q(n2)或an1qan或anqan1(n2)2根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？提示：能由a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，可猜测ana1qn1.知识梳理等比数列的递推公式与通项公式：已知等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则(1)递推公式：q(
3、n2)；(2)通项公式：ana1qn1自我检测1下列各组数成等比数列的是()1，2，4，8；，2，2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.A B C D解析：由等比数列的定义知，、是等比数列，中当x0时，不是等比数列，故选C.答案：C2已知等比数列an中，a132，公比q，则a6等于()A1 B1C2 D.解析：a6a1q5321.故选B.答案：B3在等比数列an中，a12，公比q2，若an128，则n_解析：an22n12n，由2n128，解得n7.答案：7授课提示：对应学生用书第18页探究一等比数列的判定阅读教材P22例1及解答以下数列中，哪些是等比数列？(1)1，；(2)1
4、，1，1，1，1；(3)1，2，4，8，12，16，20；(4)a，a2，a3，an.题型：等比数列的判定方法步骤：明确定义验证得结论例1数列an满足a12，an1a6an6(nN)，设cnlog5(an3)求证：cn是等比数列解题指南利用定义得出q.q是一个与n无关的常数即可证明由an1a6an6，得an13(an3)2.log5(an13)log5(an3)22log5(an3)，即cn12cn，又c1log5510，2，cn是等比数列方法技巧判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列(2)通项公式
5、法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列(3)构造法：在条件中出现an1kanb关系时，往往构造数列，方法是把an1xk(anx)与an1kanb对照，求出x即可拓展：若an是等比数列，则kan成等比数列，(其中k为不为零的常数)；若an、bn成等比数列，则anbn、成等比数列跟踪探究1.已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN)(1)求a1，a2.(2)求证：数列an是等比数列解析：(1)由S1(a11)，得a1(a11)，所以a1，又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明：当n2时，anSnSn1(an1)(an11)得，故
6、an是首项为，公比为的等比数列探究二等比数列中基本量的计算阅读教材P23例2及解答一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值题型：等比数列基本量的计算方法步骤：根据已知条件确定首项a1和公比q.结合通项公式求出a8.例2在等比数列an中，(1)若a24，a5，求an；(2)若a2a518，a3a69，an1，求n.解题指南(1)由a24，a5能否建立a1，q的方程组求出a1，q？怎样写出通项公式an?(2)由已知条件能否求a1，q？怎样求？怎样求n?解析设等比数列an的首项为a1，公比为q.(1)由题意得q，a18.ana1qn18(2)4n.(2)a3a6(a2a5)
7、q，即918q，q.由a1qa1q418得a132.由ana1qn11知n6.方法技巧1.求等比数列某项的方法先建立关于a1和q的两个方程，从而求出a1和q，再求其他项2等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算跟踪探究2.(2019昌吉市模拟)在等比数列an中，a11，a54，则a3()A2 B2 C2 D.解析：在等比数列中，由a54得a5q44，得q22，则a3a1q22.故选A.答案：A3在等比数列an中，a1a9256，a
8、4a640，则公比q_解析：a1a9aq8，a4a6a1q3a1q5aq8，a1a9a4a6，列方程组解得或q2或q24.q或q2.答案：2或2或或探究三等比数列项的设法例3有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解题指南可设这四个数依次为a，a，aq(a0，q0)然后依据条件建立方程组求解解析设这四个数依次为a，a，aq(a0，q0)，由条件得解得或当q2，a8时，所求四个数为0，4，8，16；当q，a3时，所求四个数为15，9，3，1.延伸探究若将本例中的“和是16”改为“积是128”，将“和是12”改
9、为“积为16”，如何求解？解析：设所求四个数依次为aq，aq，aq3.则由已知由得a216，所以a4或a4.由得2a2q2a2q4128.将a216代入整理，得q42q280，解得q24，所以q2或q2.所以所求的四个数分别为4，2，8，32或4，2，8，32.方法技巧几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为：，a，aq，aq2，(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：，aq，aq3，aq5，.跟踪探究4.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成
10、等差数列，求这三个数解析：设这三个数依次为，a，aq，aaq512，a8，(aq2)2a，2q25q20，q2或q.这三个数为4，8，16或16，8，4.授课提示：对应学生用书第19页课后小结(1)等比数列的判断或证明利用定义：q(与n无关的常数)利用等比中项：aanan2(nN)(2)等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量(3)巧设等差数列、等比数列的方法：若三数成等差数列，常设成ad，a，ad.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，aq，aq3.素养培优忽略数列首项致误已知数列an的前n项和Sn满足关系式lg(Sn1)n(n1，2，)，试说明数列an是等比数列易错分析判断数列为等比数列时，根据定义，是从第2项起，后一项与前一项的比是同一非零常数故需讨论an与an(n2)的关系，即要验证n1是否成立，否则就会使论证不够严密，甚至出现错误的结果本题考查逻辑推理的学科素养自我纠正由已知可知：Sn10n1，当n2时，anSnSn1(10n1)(10n11)910n1.又当n1时，a1S19也满足上述通项公式数列an的通项公式an910n1.而当n2时，10为一常数数列an是等比数列.
