1、第2课时等差数列习题课内容标准学科素养1.掌握等差数列的定义、通项公式、前n项和公式.2.掌握通过数列的前n项和Sn求通项公式的方法.3.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.灵活公式运用严格分类讨论提升数学运算授课提示：对应学生用书第14页基础认识知识点一等差数列前n项和的性质思考并完成以下问题已知等差数列an，其前n项和为Sn.(1)a1a2，a3a4，a5a6有什么大小关系？提示：a3a4(a1a2)4d，a5a6(a3a4)4d，(a5a6)(a3a4)(a3a4)(a1a2)4d，即a1a2，a3a4，a5a6构成等差数列(2)我们知道，a1a2S2，a3a4S4S2，a5a6S6S4
2、，则上述关系可以描述为一个怎样的结论？提示：如果an是等差数列，那么S2，S4S2，S6S4也成等差数列(3)这种结论可以推广吗？提示：可以推广知识梳理等差数列前n项和的性质等差数列an中，其前n项和为Sn，则an中连续的n项和构成的数列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，构成等差数列知识点二数列中an与Sn的关系思考并完成以下问题已知数列an的前n项和Snn2.怎样求a1，an?提示：a1S11，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又当n1时也适合上式所以an2n1，nN.知识梳理数列中an与Sn的关系对于一般数列an，设其前n项和为Sn，则有an特别提醒：(1)这一关系
3、对任何数列都适用(2)若由anSnSn1(n2)中令n1求得a1与利用a1S1求得的a1相同，则说明anSnSn1(n2)也适合n1的情况，数列的通项公式用anSnSn1表示若由anSnSn1(n2)中令n1求得的a1与利用a1S1求得的a1不相同，则说明anSnSn1(n2)不适合n1的情况，数列的通项公式采用分段形式自我检测1一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为()A8 B7C6 D5解析：由条件知a1a3a5a7a9a1130，又a1a11a3a9a5a7，a5a72a610，中间项a65.故选D.答案：D2设数列an的通项公式为an2n7，则|a1|a2|a3|a1
4、5|()A139 B153C144 D178解析：Snn(n6)an0时，n.|a1|a2|a15|a1a2a3a4a5a15S152S315923(3)153.故选B.答案：B3等差数列an中，S24，S49，则S6_解析：由S2，S4S2，S6S4成等差数列，4(S69)25，S615.答案：15授课提示：对应学生用书第15页探究一等差数列及前n项和的性质例1(1)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则的值为()A. B. C. D.(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10100，S10010，求S110.解题指南(1)利用性质S2n1(2n1)an求解(2)
5、利用性质Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列求解析(1)法一：因为S2n1(2n1)(2n1)(2n1)an，同理，T2n1(2n1)bn，所以.令n11得，.法二：由于an，bn均为等差数列，由题意可设Sn(7n1)kn7kn2knTn(4n27)kn4kn227kn，k0.所以a11S11S10858k710k148 k.b11T11T10781k670k111k，.故选C.(2)数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100，成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10DS10010，所以D22，所以S110S100S10(111)D1009(22)12
6、0.所以S110120S100110.答案(1)C(2)见解析延伸探究1.本例(2)若条件不变，试求S120的值解析：数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100为等差数列，设其公差为D，其前10项和为10S10DS10010，所以D22，所以S120S110S10(121)D10011(22)，所以S120S11010011(22)252.2本例(2)中的条件“S10100，S10010”若换为“Sm70，S2m110”，其他条件不变，试求S3m的值解析：因为an为等差数列，所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，所以2(S2mSm)SmS3mS2m，即2
7、(11070)70S3m110，所以S3m120.方法技巧等差数列前n项和的性质(1)等差数列的前n项和公式可以写成：SnAn2Bn(A，B为常数)这是关于n的二次函数(注意：没有常数项)，其中公差2A.(2)等差数列的依次n项的和Sn，S2nSn，S3nS2n，构成等差数列(3)若等差数列an项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；.若项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an；S奇S偶an；.(4)若数列an与bn均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则.跟踪探究1.(1)设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a42(a2a3)，则等于()A.
8、B. C7 D14解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a42(a2a3)，得a13d4a16d，得a1d.所以7.答案：C(2)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为3227，则公差d_解析：S12354，S奇354162，S偶354192，S偶S奇306d，d5.答案：5探究二由数列的前n项和Sn求通项an例2已知数列an的前n项和Snn2n，求该数列的通项公式解题指南解析当n1时，a1.当n2时，anSnSn1n2n3n.因为a1适合an3n，所以an3n.延伸探究3.若将本例中“Snn2n”改为“Snn2n1”，数列an是等差数列吗？解析：
9、当n1时，a1S111，当n2时，anSnSn1n2n13n，因为a1不适合an3n，所以an故数列an不是等差数列方法技巧由Sn求通项公式an的方法与步骤(1)令n1，则a1S1，求得a1.(2)令n2，则anSnSn1.(3)验证a1与an的关系，若a1适合an，则anSnSn1；若a1不适合an，则an跟踪探究2.已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解析：根据Sna1a2an1an可知，Sn1a1a2an1(n1，nN)，当n1时，anSnSn1n2n2n，当n1时，a1S1121，也满足式数列an的通项公式为a
10、n2n.an1an2(n1)2，故数列an是以为首项，2为公差的等差数列探究三求数列|an|的前n项和例3在等差数列an中，S321，S624，求数列|an|的前n项和Tn.解析设公差为d，则有解得an9(n1)(2)2n11，由an2n110得n5，故an的前5项为正，其余各项为负(1)当1n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.(2)当n6时，Tn|a1|a5|a6|an|(a1a2a5)(a6a7an)S5(SnS5)2S5Snn210n50，Tn延伸探究4.将例3中的条件“S321，S624”改为“a160，a1712”其它条件不变，求数列|an|的前n项和Tn.解
11、析：数列an的公差d3，ana1(n1)d60(n1)33n63.由an0，得3n630，即n21，数列an的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数设Sn，Sn分别表示数列an和|an|的前n项之和，当n20时，SnSnn2n；当n20时，SnS20(SnS20)Sn2S2060n32n2n1 260.数列|an|的前n项和Sn方法技巧处理数列|an|的前n项和的思路(1)等差数列an的各项都为非负数，这种情形中数列|an|就等于数列an，可以直接求解(2)等差数列an中，a10，d0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列an分成两段处理(3)等差数列an
12、中，a10，d0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列an分成两段处理跟踪探究3.Sn表示等差数列an的前n项和，且S4S9，a112.(1)求数列an的通项an及Sn.(2)求和：Tn|a1|a2|an|.解析：(1)设公差为d，因为S4S9，a112，所以4(12)6d9(12)36dd2，所以an122(n1)2n14，Sn12nn(n1)n213n.(2)当an0时，得2n140，n7，故数列an前7项为非正数，其余项为正数当n7时，Tn(a1a2a3an)Sn13nn2，当n8时，an0，Tn(a1a2a3a4a5a6a7)(a8an)Sn2S7n213n84
13、.综上，Tn授课提示：对应学生用书第16页课后小结(1)等差数列的前n项和Sn的有关性质在解题过程中如果运用得当，可以化繁为简，化难为易(2)由Sn与an的关系求an主要使用an(3)求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点素养培优忽略Sn与an的关系致误已知数列an的前n项和Snn2n1，试判断an是否为等差数列，为什么？易错分析已知数列的前n项和Sn求数列的通项公式时，需分类讨论，即n1与n2两种情况；当n1满足an的式子时，才能用同一个式子来表达，否则必须分段表示本题若忽略了n2这一条件而不去验证n1的情况就会得出an2n，且anan12的错误结论考查分类讨论的学科素养自我纠正当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n；当n1时，a1S11，不符合上式an数列an不是等差数列.