1、专题能力训练14空间中的平行与垂直能力突破训练1.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C12.(2015贵州八校第二次联考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心(第1题图)(第2题图)3.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列命题:若,m,则m;若m,n
2、,且mn,则;若m,m,则;若m,n,且mn,则.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.4.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的周长为.5.下列命题中正确的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)空间中三个平面,若,则;若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为6a2;在三棱锥P-ABC中,若PABC,PBAC,则PCAB.6.正三棱柱A1B1C1-ABC中,点D是BC的中点,BC=2BB1.设B1DBC1=F.(1)求证:A1C平面
3、AB1D;(2)求证:BC1平面AB1D.7.如图,四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是ABC=60的菱形,M为PC的中点.(1)求证:PCAD;(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;(3)求点D到平面PAM的距离.8.(2015山东高考)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.9.如图,平面平面,点A,点C,点B,点D,点E,F分别在线段AB,CD上,且AEEB=CFFD.(1)求证:EF平面;(2)若E,F分别
4、是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60,求EF的长.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点.(1)证明:BDEC1;(2)如果AB=2,AE=2,OEEC1,求AA1的长.思维提升训练11.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=2,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EFA1D1;BA1平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.12.如图,在长方形ABCD
5、中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;(2)若平面ADE平面ABCE,求证:平面BDE平面ADE.13.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.(1)当AEEA1=12时,求证:DEBC1;(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的13?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.14.如图,四边形ABCD中(如图),E是BC的中点
6、,DB=2,DC=1,BC=5,AB=AD=2.将ABD(如图)沿直线BD折起,使二面角A-BD-C为60(如图).(1)求证:AE平面BDC;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(3)求点B到平面ACD的距离.参考答案能力突破训练1.D解析:易知A1C1平面BB1D1D.B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故选D.2.A解析:如图,易知PA,PE,PF两两垂直,PA平面PEF,从而PAEF,而PO平面AEF,则POEF,EF平面PAO,EFAO.同理可知AEFO,AFEO,O为AEF的垂心.3.B解析:当,m时,有m,m,m等多种可能情况,所以不正确;当m,n,且mn时,由面面垂直
7、的判定定理知,所以正确;因为m,m,所以,正确;若m,n,且mn,则或,相交,不正确.故选B.4.2+6解析:如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.设EF交AC于点H,连接GH,易知ACEF.又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故点P的轨迹是EFG,其周长为2+6.5.解析:中也可以与相交;作平面与a,b,c都相交;中可得球的半径为r=612a;中由PABC,PBAC得点P在底面ABC的射影为ABC的垂心,故PCAB.6.证明:(1)连接A1B,设A1B交AB1于点E,连接DE.点D是BC的中点,点E是A1B的中点,DEA1C.A1C平面
8、AB1D,DE平面AB1D,A1C平面AB1D.(2)ABC是正三角形,点D是BC的中点,ADBC.平面ABC平面B1BCC1,平面ABC平面B1BCC1=BC,AD平面ABC,AD平面B1BCC1.BC1平面B1BCC1,ADBC1.点D是BC的中点,BC=2BB1,BD=22BB1.BDBB1=CC1BC=22,RtB1BDRtBCC1,BDB1=BC1C.FBD+BDF=C1BC+BC1C=90.BC1B1D.B1DAD=D,BC1平面AB1D.7.(1)证法一:取AD的中点O,连接OP,OC,AC,依题意可知PAD,ACD均为正三角形,所以OCAD,OPAD.又OCOP=O,OC平面P
9、OC,OP平面POC,所以AD平面POC.又PC平面POC,所以PCAD.证法二:连接AC,依题意可知PAD,ACD均为正三角形.因为M为PC的中点,所以AMPC,DMPC.又AMDM=M,AM平面AMD,DM平面AMD,所以PC平面AMD.又AD平面AMD,所以PCAD.(2)证明:当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:取棱PB的中点Q,连接QM,QA.因为M为PC的中点,所以QMBC.在菱形ABCD中,ADBC,所以QMAD,所以A,Q,M,D四点共面.(3)解:点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.由(1)可知POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平
10、面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.在RtPOC中,PO=OC=3,PC=6,在PAC中,PA=AC=2,PC=6,边PC上的高AM=PA2-PM2=102,所以PAC的面积SPAC=12PCAM=126102=152.设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得13SPACh=13SACDPO.因为SACD=3422=3,所以13152h=1333,解得h=2155,所以点D到平面PAM的距离为2155.8.(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=M.连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得D
11、FGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)证明:连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行
12、四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.9.(1)证明:当AB,CD在同一平面内时,由平面平面,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,得ACBD.AEEB=CFFD,EFBD.又EF,BD,EF平面.当AB与CD异面时,设平面ACD平面=DH,且DH=AC.平面平面,平面平面ACDH=AC,ACDH,四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AGGH=CFFD,得GFHD.AEEB=CFFD=AGGH,EGBH.又EGGF=G,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF平面
13、.综上,EF平面.(2)解:如图,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.E,F分别为AB,CD的中点,MEBD,MFAC,且ME=12BD=3,MF=12AC=2,EMF为AC与BD所成的角(或其补角),EMF=60或120.在EFM中,由余弦定理得EF=ME2+MF2-2MEMFcosEMF=32+2223212=136,即EF=7或EF=19.10.(1)证明:连接AC,A1C1.由底面是正方形知,BDAC.因为AA1平面ABCD,BD平面ABCD,所以AA1BD.又AA1AC=A,所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知,BDEC1.(2)解:设AA1的长为h,连接OC
14、1.在RtOAE中,AE=2,AO=2,故OE2=(2)2+(2)2=4.在RtEA1C1中,A1E=h-2,A1C1=22.故EC12=(h-2)2+(22)2.在RtOCC1中,OC=2,CC1=h,OC12=h2+(2)2.因为OEEC1,所以OE2+EC12=OC12,即4+(h-2)2+(22)2=h2+(2)2,解得h=32.所以AA1的长为32.思维提升训练11.(1)证明:因为C1B1A1D1,C1B1平面ADD1A1,所以C1B1平面ADD1A1.因为平面B1C1EF平面ADD1A1=EF,所以C1B1EF.所以A1D1EF.因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1
15、.因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,即tanA1B1F=tanAA1B=22,即A1B1F=AA1B.故BA1B1F.又B1FB1C1=B1,所以BA1平面B1C1EF.(2)解:设BA1与B1F的交点为H,连接C1H(如图).由(1)知BA1平面B1C1EF,所以BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在矩形ABB1A1中,AB=2,AA1=2,得BH=46.在RtBHC1中,BC1=25,BH=46,得sinBC1H=BHBC1=3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.12.(1)解:
16、线段AB上存在一点K,且当AK=14AB时,BC平面DFK.证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BCEH.又因为AK=14AB,F为AE的中点,所以KFEH,所以KFBC.因为KF平面DFK,BC平面DFK,所以BC平面DFK.(2)证明:因为F为AE的中点,DA=DE=1,所以DFAE.因为平面ADE平面ABCE,所以DF平面ABCE.因为BE平面ABCE,所以DFBE.又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,所以在折起后的图形中AE=BE=2,从而AE2+BE2=4=AB2,所以AEBE.因为AEDF=F,所以BE平面ADE.因为BE平面BDE,所以平面BDE平面AD
17、E.13.(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以ABC是正三角形.因为D是AC的中点,所以BDAC.又平面ABC平面CAA1C1,所以BDDE.因为AEEA1=12,AB=2,AA1=3,所以AE=33,AD=1,所以在RtADE中,ADE=30.在RtDCC1中,C1DC=60,所以EDC1=90,即DEDC1.因为C1DBD=D,所以DE平面BC1D,所以DEBC1.(2)解:假设存在点E满足题意.设AE=h,则A1E=3-h,所以SDEC1=S四边形AA1C1C-SAED-SDCC1-SEA1C1=23-12h-(3-h)-32=32+12h.因为BD平面ACC1A1
18、,所以VC1-BDE=VB-C1DE=1332+12h3=12+36h,又V棱柱=12233=3,所以12+36h=1,解得h=33,故存在点E,当AE=3,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的13.14.(1)证明:如图,取BD的中点M,连接AM,ME.AB=AD=2,DB=2,AMBD.DB=2,DC=1,BC=5满足DB2+DC2=BC2,BCD是以BC为斜边的直角三角形,BDDC,E是BC的中点,ME为BCD的中位线,ME12CD,MEBD,ME=12,AME是二面角A-BD-C的平面角,AME=60.AMBD,MEBD,且
19、AM,ME是平面AME内两相交于M的直线,BD平面AEM.AE平面AEM,BDAE.ABD为等腰直角三角形,AM=12BD=1.在AEM中,AE2=AM2+ME2-2AMMEcosAME=1+14-2112cos 60=34,AE=32,AE2+ME2=1=AM2,AEME.BDME=M,BD平面BDC,ME平面BDC,AE平面BDC.(2)解:取AD的中点N,连接MN,则MN是ABD的中位线,MNAB.又MECD,直线AB与CD所成角等于MN与ME所成的角,即EMN或其补角.AE平面BCD,DE平面BCD,AEDE.N为RtAED斜边的中点,NE=12AD=22,MN=12AB=22,ME=12,cos =|cosEMN|=MN2+ME2-NE22MNME=24+14-2422212=24.(3)解:记点B到平面ACD的距离为d,则三棱锥B-ACD的体积VB-ACD=13dSACD.又由(1)知AE是三棱锥A-BCD的高,BDCD,VB-ACD=VA-BCD=13AESBCD=13321221=36.E为BC中点,AEBC,AC=AB=2.又DC=1,AD=2,ACD为等腰三角形,SACD=12DCAD2-12CD2=121(2)2-122=74,点B到平面ACD的距离d=3VB-ACDSACD=33674=2217.11