1、专题能力训练12数列的通项与求和能力突破训练1.已知数列an是等差数列,a1=tan 225,a5=13a1,设Sn为数列(-1)nan的前n项和,则S2 016=()A.2 016B.-2 016C.3 024D.-3 0242.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列bn满足bn=1anan+1(nN*),Tn是数列bn的前n项和,则T9等于()A.919B.1819C.2021D.9403.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=()A.15B.17C.34D.3984.已知函数f(x)满足f(x+1)=32+f(x)(xR),且f(1)=52,则数列f(
2、n)(nN*)前20项的和为()A.305B.315C.325D.3355.已知数列an,构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为1,公比为13的等比数列,则数列an的通项公式为()A.an=32-3213n,nN*B.an=32+3213n,nN*C.an=1,n=1,32+3213n,n2,且nN*D.an=1,nN*6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 m.7.(2014全国高考)数列an满足an
3、+1=11-an,a11=2,则a1=.8.数列an满足12a1+122a2+12nan=2n+5,nN*,则an=.9.已知在数列an中,a1=1,an+1=an+2n+1,且nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=2n+1anan+1,数列bn的前n项和为Tn.如果对于任意的nN*,都有Tnm,求实数m的取值范围.10.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=0,对任意nN*,都有nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足an+log2n=log2bn,求数列bn的前n项和Tn.11.(2015山东高考)设数列an的前n项和为Sn .已知2Sn
4、=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.思维提升训练12.给出数列11,12,21,13,22,31,1k,2k-1,k1,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()A.4 900B.4 901C.5 000D.5 00113.(2015全国高考)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.14.已知等差数列an的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(nN*).(1)求p的值及an;(2)若bn=2(2n-1)an,记数列bn的前n项和为Tn,求使Tn910成立的最小正整数n的值.15.(201
5、5天津高考)已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn=log2a2na2n-1,nN*,求数列bn的前n项和.参考答案能力突破训练1.C解析:a1=tan 225=1,a5=13a1=13,则公差d=a5-a15-1=13-14=3,an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.2.D解析:数列an的
6、前n项和为Sn,且Sn=n2+n,当n=1时,a1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n,an=2n(nN*),bn=1anan+1=12n(2n+2)=141n-1n+1,T9=141-12+12-13+19-110=141-110=940.3.C解析:Sn=n2-2n-1,a1=S1=12-2-1=-2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.an=-2,n=1,2n-3,n2.a3+a17=(23-3)+(217-3)=3+31=34.4.D解析:f
7、(1)=52,f(2)=32+52,f(3)=32+32+52,f(n)=32+f(n-1),f(n)是以52为首项,32为公差的等差数列.S20=2052+20(20-1)232=335.5.A解析:因为数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为13的等比数列,所以an-an-1=13n-1,n2.所以当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+13+132+13n-1=1-13n1-13=32-3213n.又当n=1时,an=32-3213n=1,则an=32-3213n,nN*.6.2 000解析:设放在第x个坑边,则S=20(
8、|x-1|+|x-2|+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10或11时,S=2 000.当x=9或12时,S=20102=2 040;当x=1或19时,S=3 800.Smin=2 000(m).7.12解析:由a11=2及an+1=11-an,得a10=12.同理a9=-1,a8=2,a7=12,.所以数列an是周期为3的数列.所以a1=a10=12.8.14,n=1,2n+1,n2解析:在12a1+122a2+12nan=2n+5中用(n-1)代换n得12a1+122a2+12n-1an-1=2(n-1)+5(n2),两式相减,得12nan=2,an=2n+1,又12a1=7,即a
9、1=14,故an=14,n=1,2n+1,n2.9.解:(1)an+1=an+2n+1,an+1-an=2n+1,an-an-1=2n-1,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+3+5+(2n-1)=n(1+2n-1)2=n2.(2)由(1)知,bn=2n+1anan+1=2n+1n2(n+1)2=1n2-1(n+1)2,Tn=112-122+122-132+1n2-1(n+1)2=1-1(n+1)2,数列Tn是递增数列,最小值为1-1(1+1)2=34,只需要34m,m的取值范围是-,34.10.解:(1)(方法一)nan+1=Sn+n(n+1),当n2时,(n
10、-1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减,得nan+1-(n-1)an=Sn-Sn-1+n(n+1)-n(n-1),即nan+1-(n-1)an=an+2n,得an+1-an=2.当n=1时,1a2=S1+12,即a2-a1=2.数列an是以0为首项,2为公差的等差数列.an=2(n-1)=2n-2.(方法二)由nan+1=Sn+n(n+1),得n(Sn+1-Sn)=Sn+n(n+1),整理,得nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1),两边同除以n(n+1),得Sn+1n+1-Snn=1.数列Snn是以S11=0为首项,1为公差的等差数列,Snn=0+n-1=n-1.Sn=n(n-1).当
11、n2时,an=Sn-Sn-1=n(n-1)-(n-1)(n-2)=2n-2.又a1=0适合上式,数列an的通项公式为an=2n-2.(2)an+log2n=log2bn,bn=n2an=n22n-2=n4n-1.Tn=b1+b2+b3+bn-1+bn=40+241+342+(n-1)4n-2+n4n-1,4Tn=41+242+343+(n-1)4n-1+n4n,由-,得-3Tn=40+41+42+4n-1-n4n=1-4n1-4-n4n=(1-3n)4n-13.Tn=19(3n-1)4n+1.11.解:(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3.当n1时,2Sn-1=3n-1+
12、3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=3,n=1,3n-1,n1.(2)因为anbn=log3an,所以b1=13,当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=13;当n1时,Tn=b1+b2+b3+bn=13+(13-1+23-2+(n-1)31-n),所以3Tn=1+(130+23-1+(n-1)32-n),两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=23+1-31-n1-3-1-(n-1)31-n=136-6n+323n,所以Tn=1312-6n+343n.经检验
13、,当n=1时也适合.综上可得Tn=1312-6n+343n.思维提升训练12.B解析:根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是:199,298,397,5050,5149,991,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+98+50=98(1+98)2+50=4 901.13.-1n解析:由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得1
14、Sn-1Sn+1=1,即1Sn+1-1Sn=-1,则1Sn为等差数列,首项为1S1=-1,公差为d=-1,1Sn=-n,Sn=-1n.14.解:(1)(方法一)an是等差数列,Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)22=n2+(a1-1)n.又由已知Sn=pn2+2n,p=1,a1-1=2,a1=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(方法二)由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,a2=3p+2.又等差数列的公差为2,a2-a1=2,2p=2,p=1,a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1
15、.(方法三)当n2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2,a2=3p+2,由已知a2-a1=2,2p=2,p=1,a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1,Tn=b1+b2+b3+bn=11-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1.Tn910,2n2n+1910,20n18n+9,即n92.nN*,使Tn910成立的最小正整数n的值为5.15.解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(
16、a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=2n-12;当n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=2n2.所以,an的通项公式为an=2n-12,n为奇数,2n2,n为偶数.(2)由(1)得bn=log2a2na2n-1=n2n-1.设bn的前n项和为Sn,则Sn=1120+2121+3122+(n-1)12n-2+n12n-1,12Sn=1121+2122+3123+(n-1)12n-1+n12n,上述两式相减,得12Sn=1+12+122+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-22n-n2n,整理得,Sn=4-n+22n-1.所以,数列bn的前n项和为4-n+22n-1,nN*.
