1、西藏拉萨中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1（5分）cos240的值是（）ABCD2（5分）已知全集U=R，集合M=x|x240，则UM=（）Ax|2x2Bx|2x2Cx|x2或x2Dx|x2或x23（5分）在等差数列an中，a2=1，a4=5，则an的前5项和S5=（）A7B15C20D254（5分）圆柱的侧面展开图是一个边长为6和4的矩形，则该圆柱的底面积是（）A242B362和162C36D9和45（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）AabcBbcaCcabDcba6（5分）由直线y=x+2上的点向圆（x4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最
2、小值为（）ABCD7（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x2y的最小值为（）A5B4C2D38（5分）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2xy6=0平行，则a=（）A1BCD19（5分）平面向量夹角为=（）A7BCD310（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A24B48C50D5611（5分）已知函数f（x）=xsinx，若x1、且f（x1）f（x2），则下列不等式中正确的是（）Ax1x2Bx1x2Cx1+x20Dx12x2212（5分）对向量a=（a1，a2），b=（b1，b2）定义一种运算“”：a
3、b=（a1，a2）（b1，b2）=（a1b1，a2b2），已知动点P、Q分别在曲线y=sinx和y=f（x）上运动，且（其中为O坐标原点），若 的最大值为（）AB2C3D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题“x1，+），x2ax+20”的否定是真命题，则a的最大值是14（5分）在ABC中，内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，已知c=2、C=，ABC面积等于，则a+b=15（5分）已知点A（2，5）与B（4，7），在y轴上有一点p使得PA+PB的值为最小，则点p的坐标为16（5分）若函数f（x）=log2（x+1）1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a
4、=三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值18（12分）已知等差数列an的前n项和为sn，nN且a2=3，点（10，S10）在直线y=10x上（1）求数列an的通项公式（2）设bn=2an+2n求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，M为BC的中点（）证明：AMPM；（）求二面角PAMD的大小；（）求点D到平面AMP的距离20（12分）已知函数f（x）=3x（aR）（1）当|
5、a|时，求证f（x）在（1，1）内是减函数；（2）若函数y=f（x）在区间（1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围21（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点（）求椭圆C的方程；（）点P（2，3），Q（2，3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值22（10分）（1）已知x0、y0，且+=1，求x+y的最小值（2）设a、b、c0，证明：+a+b+c西藏拉萨中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）cos240的值是（）ABCD
6、考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：将240表示成180+60，再由诱导公式化简，再由特殊角的三角函数值求值解答：解：由题意得，cos240=cos（180+60）=cos60=，故选C点评：本题考查了诱导公式的应用，熟记口诀：奇变偶不变，符号看象限，并会运用，注意三角函数值的符号2（5分）已知全集U=R，集合M=x|x240，则UM=（）Ax|2x2Bx|2x2Cx|x2或x2Dx|x2或x2考点：补集及其运算 专题：集合分析：由题意全集U=R，集合M=x|x240，然后根据交集的定义和运算法则进行计算解答：解：因为M=x|x240=x|2x2，全集U=R，所以CUM=x|
7、x2或x2，故选C点评：本题考查集合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识，属基础题3（5分）在等差数列an中，a2=1，a4=5，则an的前5项和S5=（）A7B15C20D25考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论解答：解：等差数列an中，a2=1，a4=5，a2+a4=a1+a5=6，S5=（a1+a5）=故选B点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键4（5分）圆柱的侧面展开图是一个边长为6和4的矩形，则该圆柱的底面积是（）A242B362和162C36D9和4考点
8、：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：空间位置关系与距离分析：已知圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，分两种情况：6=2r，4=2r，然后再求解；解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，若6=2r，r=3，圆柱的底面积为：r2=9；若4=2r，r=2，圆柱的底面积为：r2=4；故选：D点评：此题主要考查圆柱的性质及其应用，用到了分类讨论的思想，此题是一道中档题5（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）AabcBbcaCcabDcba考点：对数值大小的比较；换底公式的应用 专题：计算题；转化思想分析：根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a
9、、b、c的大小关系解答：解：a=log32=，b=ln2=，而log23log2e1，所以ab，c=，而，所以ca，综上cab，故选C点评：本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用6（5分）由直线y=x+2上的点向圆（x4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）ABCD考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，2）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值解答：解：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，
10、此最小值即为圆心（4，2）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得 m=4，由勾股定理求得切线长的最小值为 =故选 B点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用7（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x2y的最小值为（）A5B4C2D3考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值解答：解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=3x2y可看做y=xz，即斜率为，截距为z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，2）目标函数z=3x2y的最小值为z=30
11、22=4故选B点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题8（5分）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2xy6=0平行，则a=（）A1BCD1考点：导数的几何意义 分析：利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解解答：解：y=2ax，于是切线的斜率k=y|x=1=2a，切线与直线2xy6=0平行有2a=2a=1故选：A点评：本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率9（5分）平面向量夹角为=（）A7BCD3考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：求出，利用=，直
12、接求出结果即可解答：解：因为平面向量夹角为，所以=故选C点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力10（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A24B48C50D56考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设点P的坐标为（m，n），其中m2，根据点P在双曲线上且|PF2|=|F1F2|，建立关于m、n的方程组，解之得m、n的值，从而得到向量、的坐标，利用向量数量积的坐标公式，可算出的值解答：解：根据双曲线方程，得a2=4，b2=5，c=3，所以双曲线的焦点分别为F1（3，0）、F
13、2（3，0），设点P的坐标为（m，n），其中m2，则点P在双曲线上，且|PF2|=|F1F2|，解之得m=，n=（3m，n），=（3m，n）=（3m）（3m）+（n）（n）=m29+n2=9+=50故选C点评：本题给出双曲线上一点到右焦点的距离恰好等于焦距，求该点指向两个焦点向量的数量积，着重考查了向量的数量积和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题11（5分）已知函数f（x）=xsinx，若x1、且f（x1）f（x2），则下列不等式中正确的是（）Ax1x2Bx1x2Cx1+x20Dx12x22考点：函数单调性的性质；偶函数 专题：计算题分析：先判断函数的奇偶性，易知是偶函数，同时再证明单调性
14、，即可得到结论解答：解：由已知得f（x）是偶函数，且在区间上递增，由f（x1）f（x2）得|x1|x2|，即x12x22故选D点评：本题主要考查函数单调性的定义和奇偶性在对称区间上单调性12（5分）对向量a=（a1，a2），b=（b1，b2）定义一种运算“”：ab=（a1，a2）（b1，b2）=（a1b1，a2b2），已知动点P、Q分别在曲线y=sinx和y=f（x）上运动，且（其中为O坐标原点），若 的最大值为（）AB2C3D考点：平面向量的综合题 专题：压轴题；新定义分析：根据所给的运算整理要求解的结论，得到y=f（x）的表示式，后面的问题变为通过恒等变形进行三角函数性质的应用解答：解：设
15、p点的坐标是（x，sinx）=（ x，3sinx）+（，0）=（ x+，3sinx），点Q在y=f（x）的图象上运动，y=3sin（ x+）函数的最大值为3故选C点评：新定义类型的试题的解题关键在于体会思路的形成过程、数学思想方法的应用，发现解题方法，总结解题规律，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题“x1，+），x2ax+20”的否定是真命题，则a的最大值是考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：根据命题的否定转化为判别式的关系即可解答：解：命题“x1，+），x2ax+20”的否定是真命题，即命题“x1，+），
16、x2ax+20”是真命题，则判别式=a280，或解a280得2a2，解无解a的最大值是：2故答案为：2点评：本题主要考查命题的否定的应用，利用含有量词的命题的否定关系进行转化是解决本题的关键14（5分）在ABC中，内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，已知c=2、C=，ABC面积等于，则a+b=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：根据三角形的面积公式，建立方程关系进行求解即可解答：解：c=2、C=，ABC面积等于，则ab=2，又a2+b2=c2=3，即（a+b）22ab=3，则（a+b）2=2ab+3=4，则a+b=，故答案为：点评：本题主要考查三角形面积公式的应用，根据三角形的面积公式
17、求出ab的值，利用ab和a+b之间是关系是解决本题的关键15（5分）已知点A（2，5）与B（4，7），在y轴上有一点p使得PA+PB的值为最小，则点p的坐标为（0，3）考点：点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：点A（2，5）关于y轴的对称点为A（2，5），可得直线AB的方程为：y+7=（x4），令x=0，解得y即可得出解答：解：点A（2，5）关于y轴的对称点为A（2，5），直线AB的方程为：y+7=（x4），化为x+y+3=0，令x=0，解得y=3取P（0，3）时使得PA+PB的值为最小，故答案为：（0，3）点评：本题考查了轴对称、直线的点斜式，考查了计算能力，属于基础题16（5分）若函数
18、f（x）=log2（x+1）1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=考点：抛物线的简单性质 专题：压轴题分析：先求出函数f（x）=log2（x+1）1的零点x=1和抛物线x=ay2焦点的横坐标，然后再求a解答：解：由f（x）=log2（x+1）1=0，知x=1，抛物线x=ay2焦点的坐标是F（），由题设条件知，a=故答案为：点评：本题考查抛物线的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3（1）求角C；（2）若向量与共线，求a
19、、b的值考点：余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理 专题：计算题分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C30）=1，结合C的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求解答：解：（1），sin（2C30）=10C180C=60（2）由（1）可得A+B=120与共线，sinB2sinA=0sin（120A）=2sinA整理可得，即tanA=A=30，B=90c=3a=，b=2点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用18（12分）已知等差数列an
20、的前n项和为sn，nN且a2=3，点（10，S10）在直线y=10x上（1）求数列an的通项公式（2）设bn=2an+2n求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得等差数列an中S10=100，a2=3，由此利用通项公式和前n项和公式求出首项与公差，能求出an=2n1（2）由bn=2+2n=22n1+2n=+2n，利用分组求和法能求出数列bn的前n项和解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，点（10，S10）在直线y=10x上，S10=100，又a2=3，解得a1=1，d=2，an=2n1（2）bn=2+2n=22n1+2n=+
21、2n，数列bn的前n项和：Tn=（4+42+43+4n）+2（1+2+3+n）=+=+n2+n=点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法的合理运用19（12分）如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，M为BC的中点（）证明：AMPM；（）求二面角PAMD的大小；（）求点D到平面AMP的距离考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算 专题：计算题；证明题分析：（）取CD的中点E，连接P
22、E、EM、EA，根据面面垂直的性质可知PE平面ABCD，从而AMPE，由勾股定理可求得AMEM，又PEEM=E，满足线面垂直的判定定理则AM平面PEM，根据线面垂直的性质可知AMPM；（）由（）可知EMAM，PMAM，根据二面角平面角的定义可知PME是二面角PAMD的平面角，然后在三角形PME中求出此角即可；（）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则根据等体积得VPADM=VDPAM，建立关于d的等式解之即可得到点D到平面PAM的距离解答：解：（）取CD的中点E，连接PE、EM、EAPCD为正三角形，PECD，平面PCD平面ABCD，PE平面ABCDAMPE（2分）四边形ABCD是矩形AD
23、E、ECM、ABM均为直角三角形由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3EM2+AM2=AE2AMEM（4分）又PEEM=EAM平面PEMAMPM5分）（）由（）可知EMAM，PMAMPME是二面角PAMD的平面角（7分）tanPME=PME=45二面角PAMD为45（9分）（）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则VPADM=VDPAM，SADMPE=SPAMd而SADM=ADCD=2在RtPEM中，由勾股定理可求得PM=SPAM=AMPM=3，所以：d=即点D到平面PAM的距离为（13分）点评：本题主要考查了线面垂直的判定与性质，以及二面角的度量和点到平面的距离的求解，同时考查了空间
24、想象能力和计算能力，转化与划归的思想，属于中档题20（12分）已知函数f（x）=3x（aR）（1）当|a|时，求证f（x）在（1，1）内是减函数；（2）若函数y=f（x）在区间（1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）首先对于函数求导，得到导函数是一个二次函数，根据二次函数的性质对于导函数的符号进行验证，得到结果（2）设出极值点，根据函数在所给的区间上只有一个极值点，对于函数的导函数的符号进行讨论，得到结果解答：解：（1）f（x）=2x24ax3，对称轴f（x）max=maxf（1），f（1）0，f（x
25、）在（1，1）上是减函数（2）f（x）在（1，1）内只有一个极值点，f（x）=0有两个实根x1，x2且x1（1，1），x2（1，1）若x1（1，1），x2（，1）（1，+），f（1）f（1）0经检验x2=1或x2=1时x1（1，1）点评：本题考查函数的极值和单调性的应用，属于中档题21（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点（）求椭圆C的方程；（）点P（2，3），Q（2，3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中
26、的最值与范围问题分析：（I）设出题意方程，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，可求b，利用离心率为，解得a即可求椭圆C的标准方程；（）设出坐标A，B，直线AB的方程为，代入椭圆方程，整理后由得t的范围，由韦达定理得求得|x1x2|，从而可求四边形APBQ的面积，即可解得当t=0，四边形APBQ面积的最大值解答：（本题满分12分）解：（）设椭圆C的方程为（ab0），则由，得a=4，椭圆C的方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t212=0，由0，解得4t4，由韦达定理得四边形APBQ的面积，当t=0，点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量的数
27、量积公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，考查了转化思想，属于中档题22（10分）（1）已知x0、y0，且+=1，求x+y的最小值（2）设a、b、c0，证明：+a+b+c考点：不等式的证明 专题：综合题；不等式的解法及应用分析：（1）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出（2）利用基本不等式，即可证明结论解答：（1）解：x0、y0，且+=1，x+y=（x+y）（+）=+106+10=16当且仅当=时，上式等号成立，又+=1，可得x=4，y=12时，（x+y）min=16（2）证明：a、b、c0，+b2a，+c2b，+a2c，+b+c+a2a+2b+2c，+a+b+c点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于中档题