1、函数的图象、函数的综合应用（一）基本知识回顾及应用举例1. 函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处。这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变
2、换，这也是个难点。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：I、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；II、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。对称变换：I、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y=f(-x)II、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y= -f(x)III、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即
3、可得到；y=f(x) y= -f(-x)IV、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。y=f(x) x=f(y)V、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)翻折变换：I、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到； II、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分，并保留在轴右边部分即可得到 伸缩变换：I、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)II、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸
4、长或压缩（）为原来的倍得到。y=f(x)y=f()（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。2. 解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解。这些步骤用框图表示：3. 解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类
5、等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考查函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。【典型例题】例1. （06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是（ ） 解：显然当时，阴影部分的面积等于圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，即点在直线的下方，故应在
6、C、D中选择。而当时，阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，即点在直线的上方，故应选择D。点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象的关系； 例2. （1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）解一：由指数函数图象可以看出01。抛物线方程是y=a（x+）2，其顶点坐标为（，），又由01，可得0.观察图象，可选A。解二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=，而12时
7、，f(x)0，从而有a0，b0。点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。 例7. 设，若，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解：保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像。通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且可知，所以，从而，即，又，所以。选项为A。点评：考查函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。 例8. 函数互质）图像如图所示，则（ ） A. 均为奇数 B. 一奇一偶 C. 均为奇数 D. 一奇一偶解：该题考查了幂函数的性质，由于幂函数在第一象
8、限的图像趋势表明函数在上单调递减，此时只需保证，即，有；同时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为，此时定为偶数，既为偶数，由于两个数互质，则定为奇数。答案：选项为B。点评：该题突破了传统借形言数思路，属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂函数在几种不同情况下函数图像的特点，更甚至在同一种情形下a取不同数值对函数图像的影响也要了解。 例9. 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如
9、果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001解：（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN）。因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷）。（2）设从1996年算
10、起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。 例10. 一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（xN）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。A. 4 B. 5 C. 6 D. 7x年468（万元）7117解：表中已给出了二次函数模型，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，1
11、1），（8，7），则解得a=1，b=12，c=-25即而取“=”的条件为即x=5，故选（B）。点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。 例11. （2000全国，21）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图中（2）的抛物线表示。（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式Pf（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西
12、红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元102kg，时间单位：天）解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t）由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g（t）（t150）2100，0t300. （2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）f（t）g（t），即h（t）当0t200时，配方整理得h（t）（t50）2100，所以，当t50时，h（t）取得区间0，200上的最大值100；当200t300时，配方整理得h（t）（t350）2100，所以，当t300时，h（t）取得区间（200，300上的最大值87.5.综上，由10087. 5可知，h（t）在区间0，300
13、上可以取得最大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力. 例12. 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）。解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为；2小时后，细胞总数为；3小时后，细胞总数为；4小时后，细胞总数为；可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为：，由，得，两边取以10为底的对数，得答：经过
14、46小时，细胞总数可超过个。点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。【模拟试题】1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度2. 函数对一切实数都满足，有3个实根，则这3个实根之和为（ ） A. 6 B. 9 C. 4 D. 33. 函数的图象是（ ）4. 函数的图象大致是（ ）5. 在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由沿边运动，设点P的运
15、动路程为，的面积为，如果函数的图象如图（2）所示，则的面积为（ ）A. 10 B. 16 C. 18 D. 326. 由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机9年后的价格为（ ） A. 300元 B. 900元 C. 2400元 D. 3600元7. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则获得的最大利润为（ ） A. 45.606 B. 45.6 C. 45.56 D. 45.518. 设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）A. 1 B. C
16、. D. 9. 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的值是 。 10. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200，且生产吨的成本为R=50000+200元。问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）11. 已知平面ABC，垂足D在BC的延长线上，且BC=CD=DA=1，设PD=，求的最大值。 12. 定义在R上的函数满足：如果对任意，都有，则称是R上的凹函数。已知二次函数（，且）（1）求证：当时，函数为凹函数；（2）如果时，试求的取值范围。13. 已知二次函数的图象与轴交于A、B两点且，它在轴上截
17、距为，对任意的实数都有成立。（1）求二次函数解析式；（2）若二次函数图象与直线：只有一个公共点，求的值。14. 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过点P（）和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。【试题答案】 1. A 解析：由图象平移知识，可知可由向右平移3个单位产生，再将向下平移1个单位即得的图象。 2. D 解析：由，可知的图象关于直线对称，因而它的图象与轴的交点也关于直线对称，设这三根从小到大依次为，则， 三根之和为3。 3. A 解析：首先作出的图象，再作轴下方的图象关于轴的对称图象，再将轴下方图象去掉。 4. D 解析：讨论去掉绝对值：时，； 时， 观察图象知选D。 5
18、. B 解析：由图象知，BC=4，CD=94=5，AD=149=5 故故 6. C 解析：9年后即计算机价格连续三次降低，故9年后的价格为元 7. B解析：设甲地销售辆，则乙地销售（）辆，总利润对称轴，当时，取最大值 8. B解： 不是前两个图形，从后两个图形看 ，故应是第3个图形 图象过原点 ，结合 9. 解：原方程化为。作函数及的图象如图所示。由图可知当或时，两图象恰有三个交点，即原方程有三个实数解。 10. 解：设生产吨产品，利润为元 ， 当每月生产200吨时利润最大，最大利润为3150000元。 11. 解：设，则 由面ABC，易知（三垂线定理） 易求得， （） 由可先求得 故当，即时，取得最大值 12. 解：（1）证明：任取，则 时，为凹函数 （2）（*） 当时， 当时，（*）式 当时，的最大值为的最小值为0 但， 13. 解析：（1） 又为二次函数，可设 又当时， 令，得 又，即 （2）由条件知，即 ，即 14. 解析：将代入，得 整理，得 设，由题意得 解之，得 设AB的中点M为（） 由题意知， 即M（） 易求得直线的方程为 故 令，易知 ，即截距的取值范围为