1、福建省连城县第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题1.函数的导数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为，由可得，选A.考点：导数的运算.2.复数，则复数在复平面中对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】化简复数即得.【详解】，复数在复平面中对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：.【点睛】本题考查复数，属于基础题.3.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案
2、】B【解析】方法数有种.故选B.4.已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为A. B. 1C. D. 2【答案】D【解析】由得，因此有，故选D5.的展开式中含项的系数为（ ）A. 160B. 210C. 120D. 252【答案】D【解析】【分析】由二项式定理及其二项展开式通项得：，令，解得的值，进而求得其系数.【详解】，当时，.故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项，属于基础题.6.如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ） A. 36B. 48C. 72D. 108【答案】C【
3、解析】【分析】对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.【详解】当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种即不同染色方法总数为种故选：C【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题.7.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件概率的计算公式即可得出【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示吹东风又下雨，
4、根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率故选：B【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键8.若函数与图象上存在关于点对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求关于点的函数，转化为其与有交点，转化为，这样的范围就是的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题.【详解】设关于的对称点是在 上，根据题意可知，与有交点，即，设 ，令， 恒成立， 在是单调递增函数，且，在，即，时 ，即 ，在单调递减，在单调递增，所以当时函数取得最小值1，即 ，的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题
5、，有2个关键点，第一个是求关于对称的函数，根据函数有交点转化为，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.二、多选题9.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的有（ ）A. 在上是增函数B. 在上是减函数C. 在处取得极极小值D. 在处取得极极大值【答案】BC【解析】【分析】根据导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，即可得到结论【详解】解：根据导函数的正负，得到原函数的增减性，由图可得如下数据，极小值极大值极小值故在上是减函数，在处取得极小值正确的有BC；故选：BC【点睛】本题考查导函数的图象，考查函数的单调性与极值，解题的关键
6、是利用导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，属于基础题10.下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A. 比大B. 两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C. 的充要条件为D. 任何纯虚数的平方都是负实数【答案】ABC【解析】【分析】根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；对于B选项，但与不互为共轭复数，B选项错误；对于C选项，由于，且、不一定是实数，若取，则，C选项错误；对于D选项，任取纯虚数，则，D选项正确.故选：ABC.【点睛
7、】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.11.某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：)的数据，绘制了下面的折线图.（ ）已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论正确的是A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D. 最低气温低于0 的月份有4个【答案】ABC【解析】【分析】根据折线图逐个选项分析即可.【详解】对A,由图可知, 最低气温与最高气温走势基本相同,故最低气温与最高气温为正相关.
8、故A正确.对B, 10月的最高气温超过, 5月的最高气温低于.故B正确.对C,1月的月温差最大,超过,故C正确.对D,仅1,2,4月的的最低温低于,故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了折线图的理解,属于基础题.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 函数存在两个不同的零点B. 函数既存在极大值又存在极小值C. 当时，方程有且只有两个实根D. 若时，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项.【详解】A.,解得，所以A正确；B.，当时，当时，或 是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小
9、值，是函数的极大值，所以B正确.C.当时，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.故选A,B,C【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，所以图像是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.三、填空题13.若复数，则的共轭复数的虚部为_【答案】7【解析】【分析】利用复数乘法运算化简为的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.【详解】，故虚部为.【点睛】本小题
10、主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.14.函数在处的切线方程为_【答案】【解析】分析】求导后求出即可得切线的斜率，利用点斜式即可得解.【详解】求导得，所以，所以函数在处的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的运算和导数几何意义的应用，属于基础题.15.设，则 _【答案】【解析】【分析】因为,分别令和,即可求得答案.【详解】令.原式化为.令,得,.故答案为: .【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16.设函数定义域为，满足，且当时，当时，的最小值为_；若对任意，都有成立，则
11、实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）当时，求函数的导数，判断函数的单调性后得到函数的最小值；（2）根据（1）可先求出时，函数的值域，再根据条件，判断位于最开始的哪个区间，并求解时，函数的解析式，和时对应的两根中较小根，即可得到的取值范围.【详解】（1）时，当时，当时，时，函数取得最小值；（2）当时， ，根据可知当时，当时， ，时， 当时， 令 ，可得： ，的取值范围是.【点睛】本题考查了以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求法，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于中档题型，本题的关键是利用条件可分析函数的图像，利用数形结合比较好分析.四、解答题1
12、7.设复数，求满足下列条件的实数的值.（1）为实数；（2）纯虚数.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得到，解得答案.（2）根据题意得到，解得答案.【详解】（1）由题得，解得或；（2）由题得，解得.【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，属于简单题.18.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】（1）256（2）（3）【解析】【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；（2）由题意每个盒子不空，故每个
13、盒子各一个，可得答案；（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4444256种，（2）每个盒子不空，共有不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.19.在的展开式中.（1）若第五项的系数与第三项的系数的比是，求展开式中各项系数的和；（2）若其展开式前三
14、项的二项式系数和等于79，求展开式中含的项.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是，求得再令得各项系数的和（2）依题意可得，即可求出，得到通项，再令，即可得解；【详解】解：（1）展开式的通项为由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得，解得或（舍去）.令得各项系数的和为.（2），.或（舍去）.通项公式，令，则，故展开式中含的项为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题20.设函数（1）求该函数的单调区间；（2）若当x2，2时，不等式f（x）m恒成立，求实数m的取值范
15、围【答案】（1）单调递增区间为（，2），（0，+），单调减区间为（2，0）；（2）m2e2【解析】【分析】（1）求出导函数f（x），令导函数f（x）0，求解即可求得单调增区间，令f（x）0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案；（2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围【详解】（1），f（x）xexx2exexx（x+2），令f（x）0，解得x0或x2，令f（x）0，解得2x0，f（x）的单调递增区间为（，2），（0，+），单调减区间为（2，0）；（2）当x2，2时，不等式f（x）m恒成立，mf（x）max，由（1）可知，f（x）x
16、exx2exexx（x+2），令f（x）0，可得x2或x0，f（2），f（0）0，f（2）2e2，f（x）max2e2，m2e2，实数m的取值范围为m2e2【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数在闭区间上的最值，,考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题采用了直接求最值的方法，属于中档题21.中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔（单位：分钟）满足，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔相关：当时高铁为满载状态，载客量为1000人；当时，载客量会在满载基础
17、上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为分钟时，高铁载客量为.（1）求的表达式；（2）若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？【答案】（1），（2）发车时间间隔为10分钟时，最大.【解析】【分析】（1）当时，设，代入数据计算，得到解析式.（2）考虑和两种情况，计算的解析式，求导得到函数单调性，计算最值得到答案.【详解】（1）当时，不妨设，解得，因此.（2）当时，因此，.因为，当时，单增；当时，单减，所以.当时，因此，.因，此时单减，所以，综上，发车时间间隔为10分钟时，最大.【点睛】本题考查了函数的应
18、用，分段函数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.已知函数 f（x）=ax+（1a）lnx+（aR）（）当a=0时，求 f（x）的极值；（）当a0时，求 f（x）的单调区间；（）方程 f（x）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由【答案】【解析】试题分析：（）代入a的值，求出定义域，求导，利用导数求出单调区间，即可求出极值；（）直接对f（x）求导，根据a的不同取值，讨论f（x）的单调区间；（）由第二问的结论，即函数的单调区间来讨论f（x）的零点个数试题解析：（）f（x）其定义域为（0，+）当a=0时，f（x）=，f（x）=令f（x）=0，解
19、得x=1，当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+）；所以x=1时，f（x）有极小值为f（1）=1，无极大值 （） f（x）=a（x0）令f（x）=0，得x=1或x=当1a0时，1，令f（x）0，得0x1或x，令f（x）0，得1x；当a=1时，f（x）=当a1时，01，令f（x）0，得0x或x1，令f（x）0，得a1；综上所述：当1a0时，f（x）的单调递减区间是（0，1），（），单调递增区间是（1，）；当a=1时，f（x）的单调递减区间是（0，+）；当a1时，f（x）的单调递减区间是（0，），（1，+），单调递增区间是（）a0f（x）=0（x0）仅有1解，方程f（x）=0至多有两个不同的解（注：也可用fmin（x）=f（1）=a+10说明）由（）知1a0时，极小值 f（1）a+10，方程f（x）=0至多在区间（）上有1个解a=1时f（x）单调，方程f（x）=0至多有1个解；a1时，方程f（x）=0仅在区间内（0，）有1个解；故方程f（x）=0的根的个数不能达到3考点： 1.利用导数研究函数的极值；2.利用导数研究函数的单调性