1、第30讲 圆锥曲线的综合应用学校_ 姓名_ 班级_一、 知识梳理1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2bxc0(或ay2byc0).(1)当a0时，则0时，直线l与曲线C相交；0时，直线l与曲线C相切；0时，直线l与曲线C相离.(2)当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭
2、圆有交点.3.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.4.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|AB|x1x2|；|AB|y1y2|(k0).二、 考点和典型例题1、直线与圆锥曲线的位置关系【典例1-1】直线与椭圆的位置关系是（）A相
3、交B相切C相离D不确定【典例1-2】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（）A1条B2条C3条D4条【典例1-3】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（）ABCD【典例1-4】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（）A若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B若双曲线C为等轴双曲线，且，则C若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则【典例1-5】（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为
4、，下列说法正确的是（）AB当时，C当时，直线的斜率为2D面积的最小值为42、中点弦及弦长问题【典例2-1】（2022江苏高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（）ABCD【典例2-2】（2022内蒙古赤峰二中高二阶段练习（文）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为()ABCD【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（）AB3CD3【典例2-4】（多选）（
5、2022全国高三专题练习）已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（）A椭圆的离心率为B椭圆的短轴长为CD到的两焦点距离之差的最大值为【典例2-5】（多选）（2021江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（）Aba3、圆锥曲线的综合应用【典例3-1】（2022北京北大附中三模）已知椭圆经过点.(1)求椭圆的方程及其离心率；(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.【典例3-2】（2022陕西咸阳二模（文）已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N
6、两点，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.【典例3-3】（2021湖南模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【典例3-4】（2020山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.【典例3-5】（2022全国高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0(1)求l的斜率；(2)若，求的面积
