1、13.2奇偶性内容标准学科素养1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义2.会判断函数的奇偶性3.能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第27页基础认识知识点奇偶性在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影一些函数图象也有很好的对称性，本节我们从图形和数量关系两方面来研究函数图象的对称性 观察下列函数图象：(1) 各个图象有怎样的对称性？提示：它们都关于y轴对称(2) 观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？提示：若点(x，f(x)在函
2、数图象上，则相应的点(x，f(x)也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. (3)你能从函数yx2的图象上任意两点的关系上说明图象为什么关于y轴对称吗？提示：对于R内任意的一个x，都有f(x)(x)2x2f(x)，即图象上总存在任意的两点(x，f(x)，(x，f(x)关于y轴对称(4)观察函数f(x)x和f(x)的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？提示：定义域关于原点对称，图象关于原点对称. 知识梳理1.奇偶函数的定义(1)偶函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(2)奇函数的定
3、义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数2奇偶函数图象特点(1)奇函数的图象关于原点对称；(2)偶函数的图象关于y轴对称自我检测1函数f(x)|x|1是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：函数定义域为R，f(x)|x|1f(x)，所以f(x)是偶函数答案：B2函数f(x)x2的奇偶性为()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：函数f(x)的定义域为x|x0，不关于原点对称答案：D3f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)_.解析：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)f(0)，即f(0)
4、f(0)，f(0)0.答案：0授课提示：对应学生用书第28页探究一判断函数的奇偶性阅读教材P35例5判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)x4；(2) f(x)x5；(3) f(x)x；(4)f(x).题型：判断奇偶性方法步骤：第1步，判断定义域；第2步，判断f(x)与f(x)的关系；第3步，结论例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)；(3)f(x).解析(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域
5、为x|x1，显然不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数方法技巧函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在选择、填空题中跟踪探究1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)x|x|.解析：(1)xR，xR，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)xR，xR，又f(x)x|x|x|x|f(x)，f(x)为奇函数探究二利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2(1)已知函数f(x)x3ax2bxc是定义在2b5,2b3上的奇函数，则f的值为()A.B.
6、C1 D无法确定(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，则f(3)_.解析(1)由题意可知2b52b30，即b2.又f(x)是奇函数，故f(x)f(x)0，所以2ax22c0对任意x都成立，则ac0，f21.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)是奇函数，f(3)g(3)2g(3)2，又f(3)3，g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.答案(1)B(2)7延伸探究1.本例(1)的条件改为“f(x)ax2bxb1是定义在a1,2a上的偶函数”，求f的值解析：由题意可知a，b0，f(x)x21，f1.2把本例(2)的条件“f(3)3”换为“f(d)10”，
7、求f(d)的值解析：令g(x)x7ax5bx3cx，易知g(x)为奇函数，f(d)g(d)210，即g(d)8.所以f(d)g(d)2g(d)2826.方法技巧利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解跟踪探究2.已知函数f(x)是奇函数，则a_.解析：当x0，f(x)(x)2(x)x2x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)x2x，即ax2xx2x，a1.答案：1探究三利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数f(x)是定义域为R的奇
8、函数，当x0时，f(x)x22x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象解析(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0.当x0时，x0.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)(x)22(x)x22x.综上，f(x)(2)f(x)的图象如图所示方法技巧利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可跟踪探究3.已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解析：设x0，f(x
9、)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2x1.当x(，0)时，f(x)x2x1.授课提示：对应学生用书第29页课后小结1奇偶函数的定义对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数2奇偶函数的性质(1)函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.3奇偶性的判断方法判断函数奇偶
10、性时，需先依据解析式求出定义域，在定义域关于原点对称的前提下，判断解析式是否满足f(x)f(x)或f(x)f(x)素养培优函数奇偶性判断题的求解误区下列说法正确的是()Af(x)x3是奇函数Bf(x)|x2|是偶函数Cf(x)是奇函数Df(x)0，x6,6)既是奇函数又是偶函数易错分析：对于选项C，易忽视函数的定义域，将其化简为f(x)x致误；对于选项D，易忽视定义域关于原点不对称，只看解析式致误自我纠正：f(x)x3的定义域为(，0)(0，)，且满足f(x)f(x)，所以是奇函数，A正确；f(x)|x2|的图象是由f(x)|x|的图象向右平移了两个单位得到的，已经不关于y轴对称，所以B不正确；f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，函数不具有奇偶性，C不正确；f(x)0，x6,6)的定义域不关于原点对称，所以f(x)在6,6)是非奇非偶函数，所以D不正确答案：A