1、2.4 等比数列第 1 课时 等比数列的概念和通项公式内 容 标 准学 科 素 养1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列2.掌握等比数列的通项公式并能熟练应用3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题4.了解等比数列的通项公式与指数函数的关系.发展逻辑推理提升数学运算应用数学抽象授课提示：对应学生用书第 35 页基础认识知识点一 等比数列的概念预习教材P4849，思考并完成以下问题 数列 1,2,4,8，是等差数列吗？后一项与前一项的比值是多少？(1)对于数列 1,2,4,8，从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于_提示：同一常数(2)对于数列，1,20,20
2、2,203，从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于_提示：20.(3)对于数列 1，12，14，18，从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于_提示：同一个常数 知识梳理 等比数列的定义：(1)一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示(q0)(2)上述三个数列是(填“是”或“不是”)等比数列，其公比分别为 2,20，12.在数列an中，如果 anan1q(n2，nN*)或an1an qnN*(q0)成立，则称数列an为等比数列，常数 q 称为等比数列的公比知识点二 等比中项思考并
3、完成以下问题(1)是否存在实数 G，使 1，G,4 成等比数列？提示：存在，G2.(2)是否存在实数 G，使 1，G，4 成等比数列？提示：不存在 知识点三 等比数列的通项公式知识梳理 已知等比数列an的首项为 a1，公比为 q(q0)，则数列an的通项公式为 ana1qn1.在等比数列 a1，a2，am，an 中，有 anamqnm.自我检测1在数列an中，a12，an13an(nN*)，则 a4_.答案：5422 3与 2 3的等比中项是_答案：1授课提示：对应学生用书第 36 页探究一 等比数列通项公式的应用 阅读教材 P51 例 3已知等比数列的某两项求其他项方法步骤：(1)用 a1
4、和 q 表示已知项(2)联立方程组求 a1 和 q.(3)写通项公式及其他项1等比数列基本量的求解例 1 在等比数列an中，(1)已知 a39，a6243，求 a5；(2)已知 a198，an13，q23，求 n.解析(1)法一：由 a39，a6243，得 a1q29，a1q5243.q32439 27，q3，a11.a5a1q413481.法二：a6a3q3，q3a6a32439 27，q3.a5a3q293281.(2)a198，an13，q23，1398 23n1.23n1 827 233.n13，n4.方法技巧(1)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意一项(2)在等比数列a
5、n中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个，就可以求出另一个量跟踪探究 1.设an是公比为负数的等比数列，a12，a34a2，则 a3()A2 B2C8D8解析：设等比数列an的公比为 q0，a12，a34a2，2q242q，解得 q1，则 a32(1)22.故选 A.答案：A2等比数列通项公式及变形的应用例 2(1)已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1，12a3，2a2 成等差数列，则a9a10a7a8 等于()A1 2B1 2C32 2D32 2解析 设等比数列an的公比为 q，a1，12a3,2a2 成等差数列，a3a12a2，a1q2a12a1q，q22q10，q1 2.a
6、n0，q0，则 q1 2.a9a10a7a8 q2(1 2)232 2.答案 C(2)已知数列an为等比数列，若 a22，a108，则 a6()A4B4C4D5解析 由题意可得 q8a10a2 4，q42，a6a2q4224.答案 C方法技巧 在已知等比数列中任意两项的前提下，利用 anamqnm(q0)也可求出等比数列中的任意一项跟踪探究 2.在等比数列an中，已知 a36，a3a5a778，则 a5()A12B18C24D36解析：设公比为 q，a36，a3a5a778，a3a3q2a3q478，即 66q26q478，解得 q23，a5a3q26318，故选 B.答案：B探究二 等比中项
7、的应用 阅读教材 P54 习题第 7 题求下列各组数的等比中项：(1)73 5与 73 5；(2)a4a2b2 与 b4a2b2(a0，b0)解析：(1)G2(73 5)(73 5)4，G2.(2)G2(a4a2b2)(b4a2b2)a2b2(a2b2)2，Gab(a2b2)例 3(1)已知等比数列an的公比为正数，且 a5a74a24，a21，则 a1()A.12B 22C.2D2解析 因为等比数列an的公比为正数，且 a5a74a24，a21，所以 a264a24，即 a62a4，所以 q2a6a42，所以 q 2，a1a2q 22.答案 B(2)已知 a，32，b，24332，c 这五个
8、数依次排列成等比数列，求 a，b，c 的值解析 b232 24332 326，b278.当 b278 时，ab322，解得 a23；bc2433223210，解得 c 327.同理，当 b278 时，a23，c 327.综上所述，a，b，c 的值分别为23，278，327 或23，278，327.方法技巧 应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数 a，G，b 成等比数列，只需证明 G2ab，其中 a，b，G 均不为零(2)已知等比数列中的相邻三项 an1，an，an1，则 an 是 an1 与 an1 的等比中项，即 a2nan1an1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程跟踪探究 3.
9、已知等比数列an中，a3a92a25，且 a32，则 a5()A4B4C2D2解析：因为等比数列an中，a3a92a25，且 a32，所以 2a92a25.因为 a25a1a9，所以 a11，由等比中项的性质得 a1a5a23，所以 a5a23a14.答案：B4已知 b 是 a 与 c 的等比中项，且 abc27，则 b 等于()A3B3C3 或3D9解析：b 是 a 与 c 的等比中项，acb2.又 abc27，b327，解得 b3.答案：B探究三 等比数列的判定 阅读教材 P51 例 4方法步骤：证明an1bn1anbn是一个与 n 无关的常数例 4 已知数列an的前 n 项和为 Sn，S
10、n13(an1)(nN*)(1)求 a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列解析(1)由 S113(a11)，得 a113(a11)，所以 a112，又 S213(a21)，即 a1a213(a21)，得 a214.(2)证明：当 n2 时，anSnSn113(an1)13(an11)，得 anan112，又 a112，所以an是首项为12，公比为12的等比数列延伸探究 将本例的条件改为“a178，且 an112an13”，求证数列an23 是等比数列证明：由 an112an13得 an12312an13，即 an12312an23.a178，a123 5240，an230，an123an2
11、312，an23 是以 524为首项，12为公比的等比数列方法技巧 判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列an满足an1an q(q 为常数且不为零)或 anan1q(n2，q 为常数且不为零)，则数列an是等比数列(2)通项公式法：若数列an的通项公式为 ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列(3)等比中项法：若 a2n1anan2(nN*且 an0)，则数列an为等比数列跟踪探究 5.已知数列an中，a156，an113an 12n1，求证：an3 12n 是等比数列，并求 an 的通项公式证明：令 an1A 12n113anA 12n，则 an113anA3
12、12n1.由已知条件知A31，得 A3，所以 an13 12n113an3 12n.又 a13 121230，所以an3 12n 是首项为23，公比为13的等比数列于是 an3 12n23 13n1，故 an3 12n2 13n.授课提示：对应学生用书第 37 页课后小结(1)对等比数列定义的理解定义中强调“从第 2 项起”，因为第 1 项没有前一项；每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征)；公比 q 是每一项(从第 2 项起)与它的前一项的比，不要把分子与分母弄颠倒；等比数列中的任何一项均不能为零；等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零(2)等比中
13、项的两点认识在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项a，G，b 成等比数列G2ab；若 G2ab，则 a，G，b 不一定成等比数列，因为 a，G，b 中可能有等于零的(3)等比数列通项公式的应用根据等比数列的通项公式，已知四个量 a1，n，q，an 中的三个，就可以求出第四个由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项素养培优1求两数的等比中项易丢解等比数列an中，a118，q2，则 a4 与 a8 的等比中项是()A4 B4C14D.14易错分析 a4，a8 就是两个实数，其等比中项就是 a4a8，不能为其一自我纠正 a4a1q318231，a8a1q7182716，a4 与 a8 的等比中项为 16，即4.答案：A2利用等比中项求数的项易增解如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么()Ab3，ac9Bb3，ac9Cb3，ac9Db3，ac9易错分析 把 b 看作1 与9 的等比中项，求出的值是两个，是错误的，应把 b 放在该数列中，确定其值的可能性自我纠正 b2(1)(9)9，且 b 与首项1 同号，b3，且 a，c 必同号，acb29.答案：B