1、8.2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.能运用两角和与差的正弦公式进行简单的恒等变换教学重点：两角和与差的正弦公式的推导过程及运用教学难点：两角和与差的正弦公式的灵活运用.【知识导学】知识点一两角和与差的正弦公式S：sin()sincoscossin；S：sin()sincoscossin.知识点二有关点(向量)的一组旋转公式已知点P(x，y)，与原点的距离保持不变，绕原点逆时针旋转角到点P(x，y)，则知识点三函数yasinxbcosx的最值和周期函数yasinxbcosx可化为ysin(x)的
2、形式，其中cos，sin，最大值是 ，最小值是，周期是2.【新知拓展】1公式C与S的联系四个公式C，S虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos()cos() sin()sin()，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos()的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式2注意公式的结构特征和符号规律(1)对于公式C，C，可记为“同名相乘，符号反”(2)对于公式S，S，可记为“异名相乘，符号同”3两角和与差的正弦公式中，的特征，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体4应用两角和与差的正弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差
3、，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的正弦公式的结构形式，然后逆用公式求值5求形如asinbcos的最值公式公式asinbcossin()(或asinbcoscos()将形如asinbcos(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式6三角函数化简求值的注意点在三角函数化简求值时，要注意“三看”，即：(1)看角把角尽量向特殊角或可计算的角转化，如果条件中的角不是单角要把它看作一个整体，用它表达目标中的角；(2)看名称把一道题中出现的三角函数名称尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦；(3)看式子看式子是否满足三角函数的公式，
4、如果满足直接运用，如果不满足，用诱导公式转化一下角或转换一下名称，然后再运用1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin()sinsin一定不成立()(2)对任意实数，sin()sincoscossin都成立()(3)sin54cos24sin36sin24sin30.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)sin47cos43cos47sin43等于()A0B1C1D.(2)已知为锐角，且sin，则sin(45)()A.BC.D(3)函数f(x)2sinxcosx的最大值为_答案(1)B(2)A(3)题型一 给角求值例1计算：(1)cos285cos15sin255sin15；(2)s
5、in7cos37sin83cos307；(3)sin(x60)2sin(x60)cos(120x)解(1)原式cos(27015)cos15sin(27015)sin15sin15cos15cos15sin15sin(1515)sin30.(2)原式sin7cos37cos7cos(27037)sin7cos37cos7sin37sin(737)sin(30).(3)原式sinxcos60cosxsin602sinxcos602cosxsin60cos120cosxsin120sinx3sinxcos60cosxsin60cos60cosxsin60sinxsinxcosxcosxsinx0.
6、金版点睛解决给角求值问题的策略解决此类问题一般是先用诱导公式把角化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特征，选择合适的公式进行求值注意角之间的关系，特别是与特殊角之间的关系是解题的关键求值：.解原式sin30.题型二 给值求值例2(1)已知sin，求sin；(2)已知sin，求sin.解(1)，sin，cos，sinsincoscossin.(2)，又sin，cos，sinsinsincoscossin.金版点睛给式(值)求值的解题策略(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角
7、”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式设，若cos，sin()，则sin的值为()A.B.C.D.答案C解析由cos，sin()可得sin，cos().所以sinsin().题型三 利用三角变换研究旋转变换例3已知向量(3,4)，绕原点逆时针旋转30到的位置求点P(x，y)的坐标解设xOP，|OP|r，则r5，cos，sin.xrcos(30)r(coscos30sinsin30)xcos30ysin3034；yrsin(30)r(sincos30cossin30)43.点P的坐标为.金版点睛对于旋转变换要结
8、合任意角的三角函数的定义求解已知向量(5,2)，绕原点逆时针旋转30，60到，的位置，求点P1，P2的坐标解设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，|r，xOP，则cos，sin.由任意角的三角函数的定义，得x1rcos(30)r(coscos30sinsin30)5cos302sin301.y1rsin(30)r(sincos30cossin30)2cos305sin30.所以点P1的坐标为.x2rcos(60)r(coscos60sinsin60)5cos602sin60；y2rsin(60)r(sincos60cossin60)2cos605sin601.所以点P2的坐标为.题型四 “
9、asinbcos”型函数的最值问题例4已知RtACB中，两垂直边ACb，BCa，斜边ABc，周长为定值l，求斜边c的最小值解在RtACB中，C90，ACb，BCa，ABc.则acsinA，bccosA，labcc(1sinAcosA)，c.sin1，cl(1)，即当sin1，A时，斜边c最小，最小值为l(1)金版点睛辅助角公式及其运用(1)应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式(三角形式)，再求最值(2)型如f(x)acosxbsinx的函数均可化为f(x)sin(x)(为确定数值)，或化为f(x)cos(x)(为确定数值)，再利用三角函数的值域求最值求函数f(x)sinx
10、cosx的最值、周期解f(x)sinxcosx22(sinxcos60cosxsin60)2sin(x60)f(x)max2，f(x)min2，周期T2.题型五 证明三角恒等式例5已知sin(2)5sin，求证：2tan()3tan.证明sin(2)5sinsin()5sin()sin()coscos()sin5sin()cos5cos()sin2sin()cos3cos()sin2tan()3tan.金版点睛证明三角恒等式的常用方法(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”着目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式
11、子；(3)把要证的等式进行等价变形；(4)作差法，证明其差为0.求证：2cos().证明sin(2)2cos()sinsin()2cos()sinsin()coscos()sin2cos()sinsin()coscos()sinsin()sin，2cos().1计算sin43cos13cos43sin13的结果等于()A.B.C.D.答案A解析sin43cos13cos43sin13sin(4313)sin30.2.cosxsinx等于()A2cosB2cosC2sinD2sin答案D解析cosxsinx222sin.3下面各式中，不正确的是()AsinsincoscosBcossincoscosCcoscoscosDcoscoscos答案D解析sin，A正确；coscoscos，B正确；coscos，C正确；coscoscoscos，D不正确4若cos，是第三象限角，则sin_.答案解析由题意，知sin，sinsincoscossin.5已知，cos()，sin()，求sin2的值解因为，所以0，.又cos()，sin()，所以sin()，cos().所以sin2sin()()sin()cos()cos()sin().