1、数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则复数所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知集合，则（ ）A B C D3.已知等差数列满足，且数列是等比数列，若，则（ ）A32 B16 C8 D4 4.如果双曲线经过点，且它的渐近线方程为，那么该双曲线方程式可（ ）A B C. D5.利用计算机在区间上产生随机数，则不等式成立的概率是（ ）A B C. D6.设是两个非零向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D
2、既不充分又不必要条件7.设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（ ）A B C. D8.函数的最大值和最小正周期分别为（ ）A B C. D9.某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当时，最后输出的的值为（ ）A9.6 B7.68 C.6.144 D4.915210. 如图2，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A54 B162 C. D11.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为（ ）A或 B或 C. 或 D或12.若函数存在唯一的
3、零点，则实数的取值范围为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数满足，则目标函数的最大值为 14.在的展开式中，的系数是 15.已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为 16.设是数列前项和，且，则数列的通项公式 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，且.（）求的值；（）若，求的面积.18. （本小题满分12分）某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场没销售一台空调器可获利
4、500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元.（）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量（单位：台，）的函数解析式；（）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量（单位：台），整理得下表：以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，表示当周的利润（单位：元），求的分布及数学期望.19. （本小题满分12分）如图3，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.（）求证：；（）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满
5、分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点分别在轴上，离心率为，在其上有一动点，到点距离的最小值是1.过作一个平行四边形，顶点都在椭圆上，如图所示.（）求椭圆的方程；（）判断能否为菱形，并说明理由.（）当的面积取到最大值时，判断的形状，并求出其最大值.21. （本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求的值；（）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4，四边形内接于，过点作的切线交的延长线于，已知.（）若是的直径，求的大小；（）若，求证：.23
6、. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于两点，求的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（）解不等式：；（）若，求证：.试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13.9 14.20 15. 16.三、解答题17.解：（）为的内角，由知，结合正弦定理可得：，.（）解法1：，由得的面积.解法2：由结合正弦定理得：，由余弦定理得：，的面积.18. 解：（）当
7、时，当时，所以（）由（）得，的分布列为.19. 证法1：连结，设与相交于点，连接，则为中点，为的中点，.证法2：取中点，连接和，平行且等于，四边形为平行四边行，同理可得又.（），又，又法一：设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则.，平面的一个法向量，.所以直线与平面所成角的正弦值为.【法二：取的中点，连结，则，故，延长相交于点，连结，则为直线与平面所成的角.因为为的中点，故，又即直线与平面所成的角的正弦值为.】【法三：取的中点，连结，则，故，取中点，连结，过点作，则，连结，为直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角的正弦值为.】2
8、0. 解：（）依题，令椭圆的方程为，所以离心率，即.令点的坐标为，所以，焦点，即，（没有此步，不扣分）因为，所以当时，由题，结合上述可知，所以，于是椭圆的方程为.（）由（）知，如图，直线不能平行于轴，所以令直线的方程为，联立方程，得，所以，.若是菱形，则，即，于是有，又，所以有，得到，可见没有实数根，故不能是菱形.（）由题，而，又即，由（）知.所以，因为函数，在时，即得最大值为6，此时，也就是时，这时直线轴，可以判断是矩形.21. 解：（），且直线的斜率为0，又过点，即解得.（）当时，不等式.令，令，当，即时，在单调递增且，所以当时，在单调递增，.即恒成立.当，即时，在上单调递减，且，故当时，即，所以函数在单调递减，当时，与题设矛盾，综上可得的取值范围为.22. 解：（）与相切于点，又是的直径，四边形内接于，（），.又，.23. 解：（）直线的普通方程为，曲线的直角坐标系方程为.（）的圆心到直线的距离，故.24. 解：（）由题意，得，因此只须解不等式当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（）由题意得.所以成立.