1、必考问题11直线与圆【真题体验】1(2012江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析设圆心C(4,0)到直线ykx2的距离为d，则d，由题意知问题转化为d2，即d2，得0k，所以kmax.答案2(2012天津改编)设m，nR若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是_解析根据直线与圆相切建立m与n的关系，再由基本不等式求解mn的取值范围由题意可得1，化简得mnmn1，解得mn22或mn22.答案(，2222，)3(2011盐城模拟)
2、直线xa2y10与直线(a21)xby30互相垂直，a，bR且ab0，则|ab|的最小值为_ 解析由题意得1，所以b， 所以|ab|2. 答案24(2010江苏，9改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y2r2(r0)上有且仅有四个点到直线12x5y130的距离为1，则实数r的取值范围是_解析圆半径为r，圆心(0,0)到直线12x5y130的距离等于1，圆上有且仅有四个点到直线12x5y130的距离为1，所以r2，则r的取值范围是(2，)答案(2，)5(2012苏北四市模拟)平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(4,0)，P(a,1)，N(a1,1)，当四边形PABN的周长最小时，过三
3、点A、P、N的圆的圆心坐标是_解析AB，PN的长为定值，只要求PABN的最小值PABN，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3，1)距离之和，三点共线时，即a时，其和取得最小值然后由线段PN的中垂线x3，与线段PA的中垂线y的交点即为所求圆心坐标答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长多为B级或C级要求【应对策略】高考对解析几何的考查，主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中，要注意加强
4、平面几何中有关知识特别是圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算能力的训练，努力提高灵活解题的能力.必备知识1两直线l1：yk1xb1、l2：yk2xb2平行与垂直(1)l1l2k1k2，且b1b2(注：b1b2时，l1与l2重合，若要求平行，需排除)(2)l1l2k1k21(注：若知两直线互相垂直及k1，可据此求k2)2圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心(a，b)，半径r(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0，(D2E24F0)3直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(1)若d，dr相离0.(2)dr相切0.(3)dr相
5、交0.必备方法1求直线方程的一般方法(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程(2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数2三个独立条件确定一个圆，一般用待定系数法，如果已知圆心或半径可用标准式；如果已知圆经过某些点常用一般式并要注重圆的一般方程与标准方程的互化3直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定较好4涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形5要注意数形结合，充分利用圆的性质和几何特征，尽可能简化计算命题角度一直线和圆的方程命题要点 根据条件确定直线或圆的方程【例1】 (2012
6、南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点为F，点P在抛物线上，且位于x轴上方若点P到坐标原点O的距离为4，则过F、O、P三点的圆的方程是_审题视点 听课记录审题视点 因为圆经过点F(1,0)，O(0,0)，可设圆方程为x2y2DxEyF0，将F、O、P的坐标代入确定D、E、F的值解析法一先设点P(x，y)，根据P在抛物线上，且位于x轴上方，又PO4，解得P点坐标为(4,4)，又因为圆经过点F(1,0)，O(0,0)，可设圆方程为x2y2DxEyF0，代入三个坐标，解得圆方程为x2y2x7y0.法二可利用几何方法，分析圆心在两条直线的中垂线上，选择两条中垂线联立，可求得圆心
7、坐标为，r2，故圆方程为22.答案x2y2x7y0. 求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于解析几何填空题利用其几何性质往往会起到方便、快捷作用【突破训练1】 (2012南通模拟)已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆1的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为_解析易得椭圆1的外切矩形的四个顶点(4，3)必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为x2y225，可以验证过该圆上除点(4，3)的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆1的交点都各只有一个；故圆方程x2y225.答案x2y225命题角度二直线与圆、圆与圆的位置关系命题要点 直线与圆的位置
8、关系的判定；圆的切线性质的运用【例2】 (2012南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y2)24，圆C2：(xm)2(ym5)22m28m10(mR，且m3)(1)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：直线l与圆C2总相交审题视点 听课记录审题视点 (1)将等式PT1PT2转化为坐标之间的关系，通过解方程求解；(2)利用直线与圆的位置关系的判定方法解(1)设点P的坐标为(x0，y0)，圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2，由题意得
9、PCrPCr，即(x03)2(y02)24(x0m)2(y0m5)2(2m28m10)，化简得x0y010，因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为(0，1)或(1,0)；(2)依题意可设直线l的方程为：y2k(x3)，k0，化简得kxy3k20，则圆心C2(m，m5)到直线l的距离为，又圆C2的半径为，所以“直线l与圆C2总相交”等价于“m3，”，即 ，记y，整理得(y2)m22(3y4)m9y100，当y2时，m2；当y2时，判别式2(3y4)24(y2)(9y10)0，解得y1；综上得y，m3的最小值为1，所以式1k0，即证 根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系
10、【突破训练2】 (2012苏北四市调研)平面直角坐标系xOy中，直线xy10截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；(3)设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解(1)因为O点到直线xy10的距离为，所以圆O的半径为 ，故圆O的方程为x2y22.(2)设直线l的方程为1(a0，b0)，即bxayab0，由直线l与圆O相切，得，即，DE2a2b22(a2b2)8，当且仅当
11、ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.(3)设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，y1)，xy2，xy2，直线MP与x轴交点，m，直线NP与x轴交点，n，mn2，故mn为定值2.命题角度三直线、圆与其他知识的交汇命题要点 求直线被圆截得的弦长；圆与圆的位置关系；以圆锥曲线为载体结合平面向量的综合问题【例3】 (2012南京、盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆1的右顶点，点D(1,0)，点P，B在椭圆上，.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的
12、方程；若不存在，请说明理由审题视点 听课记录审题视点 利用向量相等求出坐标，再利用两点式或点斜式求直线方程；根据圆M和圆N相外切确定P，M，N在一条直线上，且PMPN，从而求解M、N的坐标解(1)因为且A(3,0)，所以BPDA2，而B，P关于y轴对称，所以点P的横坐标为1，从而得P(1,2)，B(1,2)所以直线BD的方程为xy10.(2)线段BP的垂直平分线方程为x0，线段AP的垂直平分线方程为yx1，所以圆C的圆心为(0，1)，且圆C的半径为r，又圆心(0，1)到直线BD的距离为d，所以直线BD被圆C截得的弦长为24.(3)假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦
13、，则点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线yx1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且PMPN.设M(0，b)，则N(2,4b)，根据N(2,4b)在直线yx1上，解得b3.所以M(0,3)，N(2,1)，PMPN，故存在这样的两个圆，且方程分别为x2(y3)22，(x2)2(y1)22. 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定【突破训练3】 如图所示，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与
14、圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程；(3)是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由解(1)设圆A的半径为R.圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.MN2，AQ1.由AQ1，得k.直线l的方程为3x4y60.所求直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，0().当直线l与x轴垂直时，得P.则，又(1,2)，5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.5.综上所述，是定值，且5.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )