1、听课随笔第 3 课时 正弦定理（3）知识网络 解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用学习要求1掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2熟记正弦定理及其变形形式；3判断的形状.【课堂互动】自学评价 1正弦定理：在ABC 中，CcBbAasinsinsinR2,sinsinsinsinsinababcABABCR 为 ABC的外接圆的半径2三角形的面积公式：（1）s=Cabsin21=Abcsin21=Bcasin21（2）s=CBARsinsinsin22（3）s=Rabc4【精典范例】【例 1】在中，已知AacosBbcosCccos，试判断的形状【
2、解】令Aasin，由正弦定理，得CkcBkbAkasin,sin,sin代入已知条件，得AAcossinBBcossinCCcossin ，即 tantantan又，（，），所以，从而为正三角形 点评:通过正弦定理，可以实现边角互化【例 2】在中，是的平分线，用正弦定理证明 ACAB DCBD【证】设，则，在和中分别运用正弦定理，sin)180sin(0 又（）得 ACAB sinsin，DCAC，所以 BDAB DCAC，即 ACAB DCBD 【例 3】根据下列条件，判断 ABC有没有解？若有解，判断解的个数（1）5a，4b，120A，求 B；（2）5a，4b，90A ，求 B；（3）10
3、 6a，20 3b，45A，求 B；（4）20 2a，20 3b，45A，求 B；（5）4a，10 33b，60A ，求 B【解】（1）120A，B 只能是锐角，因此仅有一解（2）90A ，B 只能是锐角，因此仅有一解（3）由于 A 为锐角，而210 620 32，即Abasin，因此仅有一解90B （4）由于 A 为锐角，而220 320 220 310 62，即sinbabA，因此有两解，易解得60120B 或（5）由于 A 为锐角，又10 34sin 6053，即sinabA，B 无解 追踪训练一 1.在ABC 中，已知 b=6，c=10，B=30，则解此三角形的结果是 （C ）A.无解
4、 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定 2.在ABC 中，若BA2，则a 等于（D ）AAbsin2BAbcos2CBbsin2DBbcos2 3.在ABC 中，若22tantanbaBA，则ABC 的形状是（D ）A直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形【选修延伸】【例 4】如图所示，在等边三角形中，,ABaO 为三角形的中心，过O 的直线交 AB 于 M，交 AC 于 N，求2211OMON的最大值和最小值角形 ABC 的中心，33AOa，【解】由于 O 为正三6MAONAO，设MOA，则听课随笔听课随笔233，在 AOM中，由正弦定理得：sinsin()6OMOAMAO，
5、36sin()6aOM，在 AON中，由正弦定理得：36sin()6aON，2211OMON22212 sin()sin()66a2212 1(sin)2a，233，3sin14，故当2 时2211OMON取得最大值218a，所以，当 2,33or 时23sin4，此时2211OMON取得最小值215a追踪训练二 1.在 ABC中，:4:1:1A B C，则:a b c(D)A4:1:1B2:1:1C2:1:1D3:1:12.在 ABC中，若sin:sin:sin4:5:6ABC，且15abc，则a 4 ，b 5 ，c 6 3.已知 ABC 中，abc13 2，则 ABC 等于(A)A123B
6、231C132D3124.如图，ABC 是简易遮阳棚，A、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面 ABD 面积最大，遮阳棚 ABC 与地面所成的角为(C )ACDB阳光地面A.75B.60C.50D.45 5已知 ABC 中，sinAsinBsinCk(1-2k)3k(k0)，则 k 的取值范围为(B)A(2，)B(61，41)C)0,21(D),21(6在ABC 中，证明：2222112cos2cosbabBaA.证明：222222sin21sin212cos2cosbBaAbBaA222222sinsin211bBaAba由正弦定理得：2222sinsinbBaA 2222112cos2cosbabBaA 高考资源网%【师生互动】学生质疑 教师释疑
