1、福建省连城县第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数的定义域是（ ）A. 1，4B. （1，4C. 2，4D. （2，4【答案】D【解析】【分析】由二次根式被开方数大于等于零，对数式的真数大于零联立不等式组求解即可.【详解】解：由，解得，所以所以函数的定义域为故选：D【点睛】此题考查函数的定义域及其求法，属于基础题.2.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，得，选项A错误，选项B错误， ，选项D错误， 因为选项C正确，故选C【考点】指数函数与对数函数性
2、质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.3.在中，已知，则其最大角和最小角的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，进而求得，从而求得最大角和最小角的和.【详解】依题意，由正弦定理得，所以最大的边为，最小的边为，最大的角为，最小的角为.由余弦定理得.由于，所以，所以，也即最大角和最小角的和为.故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.4.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C
3、. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到，再解分式不等式，即可得出结果.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，因此不等式可化为，解得：或.故选：B.【点睛】本题主要考查解分式不等式，属于常考题型.5.已知向量与的夹角为，为单位向量，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由平面向量投影的定义可求得结果.【详解】由平面向量投影的定义可知，在方向上的投影为，在方向上的投影为.故选：A.【点睛】本题考查平面向量投影的计算，考查平面向量投影定义的应用，考查计算能力，属于基础题.6.设长方体的长、宽、高分别为、，其顶点都在同一个球
4、面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设长方体的外接球的半径为，利用长方体的体对角线为其外接球的直径可计算出球体的半径，再利用球体的表面积公式可计算得出结果.【详解】设长方体的外接球的半径为，则，得，因此，该长方体的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，理解长方体的体对角线为其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.7.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】试题分析：，即|AB|=|AC|ABC形状是等腰
5、三角形考点：向量运算8.在中，则此三角形外接圆面积为（ ）A. 9B. C. 36D. 【答案】B【解析】分析】由于已知三角形的两边和夹角，所以先由余弦定理求三角形的第三边，再由正弦定理求出三角形的外接圆半径，从而可求出三角形外接圆面积.【详解】解：由余弦定理得，所以，由正弦定理得，即，解得，所以三角形的外接圆面积为，故选：B【点睛】此题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.9.数列中，则的值是（ ）A. 1007B. 1008C. 1011D. 1012【答案】D【解析】【分析】根据已知条件判断出数列是等差数列，由此求得.【详解】依题意，数列中，所以，所以数列是以为首项，公差的等
6、差数列，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，属于基础题.10.等比数列中，则的值为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 160【答案】C【解析】【分析】结合对数运算以及等比数列性质，化简求得所求表达式的值.【详解】由于数列是等比数列，所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.11.设是等差数列的前项和，若，则等于（ ）A. B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质得到，再利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n项和公式的应用，还考查了运算求解的能力
7、，属于中档题.12.已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，分和两种情况讨论，利用等比数列的求和公式与可求得的值.【详解】设等比数列的公比为.当时，与矛盾，不合乎题意；当时，则，又，即，解得.故选：D.【点睛】本题考查等比数列前项和与等比数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13.在中，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据，利用向量的加法法则和平面向量基本定理得到，再根据，利用待定系数法求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理以及加法
8、法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知在中，若三角形有两个解，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由有两解得出，由此可解得的取值范围.【详解】在中，且该三角形有两解，则，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角形有多解求参数，考查计算能力，属于中等题.15.在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是_【答案】【解析】【详解】【分析】16.已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】分析得,再代入利用基本不等式即可.【详解】,故答案为【点睛】本题主要考查了基本不等式的用法,属于基础题型.三、解答题（解答应
9、写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，.（1）若向量与向量的夹角为，求；（2）若向量与向量垂直，求向量与的夹角.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）给平方化简后将已知数据代入可得，然后开方可得的值；（2）由于向量与向量垂直，所以，从而求得，再利用向量夹角公式可求得向量与的夹角.【详解】解：（1）由已知得；（2）由已知得，即，向量与的夹角为.【点睛】此题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于基础题.18.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.(1)求B的大小(2)若，求b.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可解
10、得角B；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b【详解】解：（1）由，得，又因B为锐角，解得(2)由题得，解得【点睛】本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题19.在中，角，的对边分别为，已知，（1）求角；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)直接化简得A的值，即得C的值.(2)利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求，再求出的面积【详解】（1）因为，所以，解得或（舍去），所以，又，所以（2）在中，由余弦定理可得，又，所以，解得（负值舍去），又，由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平
11、和分析推理能力.20.已知数列满足，其中.设.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.（3）令，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）由得出，接着证即可得出结果；（2）由（1）中的结论求出，进而可解得；（3）先得，利用“裂项求和”方法求出，结合函数的性质可得结果.【详解】（1）证明：因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知构成以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以数列的通项公式为.（3），则易知函数在上是增函数，所以所以.【点睛】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理
12、能力与计算能力，属于中档题.21.、两地相距400千米，一辆货车从地行驶到地，规定速度不得超过100千米/时.已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为元.（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，进
13、而分类讨论可得结果.【详解】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，则全程运输成本为，则，.（2）依题意知，都为正数，则，当且仅当，即时取等号.若，即，则当时，全程运输成本最小.若，即时，则当时，可以证明函数是减函数，即此时当时，全程运输成本最小.【点睛】此题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值，属于中档题.22.已知数列的前项和，是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对于数列，利用公式，可求得数列的通项公式；设的公差为，由，可求出和的值，进而得到数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法即可求出数列的前项和.【详解】（1）数列的前项和，当时，当时，经检验，满足，所以，数列的通项公式为.设数列的公差为，由，即，可解得，所以，数列的通项公式为.（2）由（1）知，又，即，两式作差，得所以.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求和问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力，解题关键是掌握错位相减求和的方法，属于中档题.已知求的方法：利用，一定要检验是否适合的表达式，若适合的表达式，则，若不适合，则分段表述.