1、高考资源网（） 您身边的高考专家25平面向量应用举例25.1平面几何中的向量方法 25.2向量在物理中的应用举例内容标准学科素养1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.3.体会向量是一种处理几何问题和物理问题的有力工具.提升数学运算应用数学建模发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第67页基础认识知识点一平面几何中的向量方法阅读教材P109112，思考并完成以下问题平面几何中的 点线关系用向量如何解释？(1)判断两直线(线段)平行，用向量如何判断？提示：常用向量平行的条件(2)判断两直线(线段)垂直，用向量如何判断？提示：常用
2、向量垂直的条件(3)求与夹角相关的问题，用向量如何求解？提示：用向量的夹角公式(4)求线段长度相关的问题，用向量如何求解？提示：用向量的模的概念及公式知识梳理用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0.垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量知识点二物理中的向量方法思考并完成以下
3、问题(1)力、速度、加速度、位移的合成与分解相当于向量的什么运算？提示：向量的线性运算(2)力所做的功相当于向量的什么运算？提示：力与位移两个向量的数量积知识梳理(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，其运算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则自我检测1在ABC中，若()()0，则ABC()A是正三角形B是直角三角形C是等腰三角形 D形状无法确定答案：C2力F(1，2)作用于质点P，使P产生的位移为s(3，4)，则力F对质点P做的功是_答案：11授课提示：对应学生用书第68页探究一利用向量求几何度量教材P1
4、09例1方法步骤：(1)设基底；(2)用基底表示所求向量；(3)求模；(4)得结论例1如图，在平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解析设a，b，则ab，ab.由题意知|a|1，|b|2，|ab|2.(ab)2|ab|24，即a22abb24.12ab44，ab.|ab|2(ab)2a22abb21246.|ab|，即|，故对角线AC的长为.方法技巧将边长视为向量的模长，利用向量的加减法则及模的求法求边长跟踪探究1.正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，求cos DOE.解析：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建
5、立平面直角坐标系，则D，E.，.cos DOE.探究二利用向量求证平面几何的位置关系教材P113A组第2题ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设a，b.证明：A、O、E三点在同一直线上，且2.证明：如图，易知OFDOBC，DFBC，BOBF.aa(ab)又()(ab)，.A，O，E三点在同一直线上，且2.同理2，2，2.例2已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形求证：PAEF且PAEF.证明以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，设正方形边长为1，|，则A(0，1)，P，E，F，于是
6、，.|，同理|，|，PAEF.0，PAEF.方法技巧利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式跟踪探究2.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.证明：法一：设a，b，则|a|b|，ab0.又a，b，所以a2ab|a|2|b|20.故，即AFDE.法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则(2，1)，(1，2)因为(2，1)(1，2)220.所以，即AFDE.探究三向量
7、在物理中的应用教材P112例4方法步骤：(1)作图，将物理问题转化为向量问题；(2)计算向量例3(1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小解析如图，两根绳子的拉力之和，且|300 N，AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，AOC30，则OAC90.从而|cos 30150(N)，|sin 30150(N)所以|150(N)答：与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.(2)一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，
8、已知AB km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？解析如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，根据题意ACAE，在RtADE和ACED中，|2，|4，AED90，|2.又AB，用时0.5 h.sinEAD，EAD(0，90)，EAD30.答：船实际航行速度大小为2 km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时0.5 h.方法技巧利用向量法解决物理问题的两种思路第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算第二种
9、是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算跟踪探究3.某物体做斜抛运动，初速度|v0|10 m/s，与水平方向成60角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是_ m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|v0|cos 60105(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.答案：54已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数0.02的水平面上运动了20 m问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g10
10、m/s2)解析：如图所示，设木块的位移为s，则WFFs|F|s|cos 305020500(J)将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小为|f|(GF1)|(8025)0.021.1(N)因为Wffs|f|s|cos 1801.120(1)22(J)即F和f所做的功分别为500 J和22 J.授课提示：对应学生用书第69页课后小结1用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题通过向量运算，确定几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题把运算结果“翻译”成几何
11、关系2向量法解决物理问题的步骤抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；建立以向量为主体的数学模型；利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；用数学模型中的数据解释物理问题素养培优1构造向量求函数最值典例求函数y3的最大值解析设向量a(1，3)，b(，)，则|a|，|b|3.|ab|a|b|，y|ab|a|b|3.当且仅当ab，即30时取“”，解得x，即当x时，ymax3.2构造向量证明不等式典例已知a2b21，c2d21，求证：|acbd|1.证明设x(a，b)，y(c，d)，则xyacbd，|x|，|y|.|xy|x|y|，|acbd|1.3构造向量证明等式典例设(a2b2)(m2n2)(ambn)2，其中mn0.求证：.证明法一：设c(a，b)，d(m，n)，则|c|2a2b2，|d|2m2n2，cdambn.(a2b2)(m2n2)(ambn)2，|c|2|d|2(cd)2，即cd|c|d|，cd，anbm0，即anbm.又mn0，.法二：设c(a，b)，d(m，n)，c与d的夹角为，则cos2.由题意知1，cos21，0或180，cd，anbm0.又mn0，.归纳总结当一些函数、方程或不等式中含有乘积或乘方时，可以构造向量，利用|ab|a|b|的坐标运算求解，方法简单、思路清晰即|x1x2y1y2| (x1x2y1y2)2(xy)(xy)- 8 - 版权所有高考资源网
