1、专题强化训练(二)点、直线、平面之间的位置关系(教师独具)(建议用时:60分钟)一、选择题1在下列命题中,不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线A选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的2设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若ml,且m,则l;若l,m,n,则lmn;若m,l,n,且n,则lm.其中正确命题的个数是()A1
2、B2C3D4B易知正确;错误,l与的具体关系不能确定;错误,以墙角为例即可说明;正确,可以以三棱柱为例说明故选B.3已知异面直线a,b分别在平面,内,且c,那么直线c一定()A与a,b都相交B只能与a,b中的一条相交C至少与a,b中的一条相交D与a,b都平行C若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,则ab,与a,b异面矛盾4已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面与直线m垂直,则直线n与平面的关系是()An Bn或nCn或n与不平行 DnAl,且l与n异面,n,又m,nm,n.5设直线l平面,过平面外一点A与l,都成30角的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条B如图
3、,和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当ABCACB30且BCl时,直线AC,AB都满足条件,故选B.二、填空题6下列四个命题:若ab,a,则b;若a,b,则ab;若a,则a平行于内所有的直线;若a,ab,b,则b.其中正确命题的序号是_中b可能在内;a与b可能异面;a可能与内的直线异面7在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为_如图,过E作EFBC,垂足为F,连接DF.易知平面BCC1B1平面ABCD,交线为BC,所以EF平面ABCD. EDF即为直线DE与平面ABCD所成的角. 由题意,得EFCC11,CFC
4、B1,所以DF.在RtEFD中,tan EDF. 所以直线DE与平面ABCD所成角的正切值为.8如图,自二面角l内任意一点A分别作AB,AC,垂足分别为B和C,若BAC30,则二面角的大小为_150因为AB与AC相交,所以可以确定一个平面. 设平面ABC与l相交于点D,连接BD,CD,AB,l,ABl,AC,l,ACl,l平面ABC,lBD,lCD,BDC是二面角l的平面角. 在四边形ABCD中,ACDABD90,BAC30,BDC 150,二面角l的大小为150.三、解答题9如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,
5、且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCABB,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.10如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为正方形,AE平面CDE, 已知AE3, DE4.(1)求证:平面ADE平面ABCD;(2)求直线BE与平面ABCD所成的角的正
6、弦值解(1)因为AE平面CDE,CD平面CDE,所以AECD.因为CDAD,AEADA,AD,AE平面ADE,所以CD平面ADE.又CD平面ABCD,所以平面ADE平面ABCD.(2)过点E作EHAD于H,连接BH(图略).由(1),知平面ADE平面ABCD,又平面ADE平面ABCDAD,所以EH平面ABCD,所以BH为BE在平面ABCD内的射影,所以EBH为BE与平面ABCD所成的角又CDAB,所以AB平面ADE,所以ABAE,所以ABE为直角三角形又AE3,DE4,所以AD5,所以AB5,所以BE,且HE,所以sin EBH,即直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值为.1已知直线m,n,l
7、, 平面, . 给出下面四个命题:m;mn;n; n.其中正确的是()A BC DC由直线m,n,l,平面, 知:在中,m或m, 故错误;在中,m与n相交、平行或异面, 故错误;在中,n, 由线面平行的判定定理知n,故正确;在中,n或n, 故错误2如图所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. ABC内部A连接AC1(图略),因为ACAB,ACBC1,ABBC1B,所以AC平面ABC1, 又因为AC平面ABC, 所以平面ABC1平面ABC, 所以C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1
8、与平面ABC的交线AB上3设平面平面,A,C,B,D,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面,之间,AS8,BS6,CS12,则DS_.9因为直线AB与CD交于点S,所以A,B,C,D四点共面又平面平面,所以BDAC,ACS与BDS相似,所以,即,所以DS9.4如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是AC和AE的中点,那么ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE异面其中正确结论的序号是_因为两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,M,N分别是AC和AE的中点,取AD的中点G,连接MG,NG,易得AD平面MNG,进而得到ADMN,故正确;连接MD,CE,根据
9、三角形中位线定理,可得MNCE,由线面平行的判定定理,可得MN平面CDE及MNCE正确;MN,CE异面错误5如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD,ABBCADa,E是AD的中点,O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值解(1)在题图中,因为ABBCADa,E是AD的中点,BAD,所以BEAC,即在题图中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又易得CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDEBE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图知,A1OABa,平行四边形BCDE的面积Sa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3,由a336,得a6.