1、福建省泉州科技中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题注意事项：本试卷分第I卷、第II卷两部分，共150分，考试时间120分钟选择题、填空题答案表在答题卡中，请按要求作答第卷（选择题 共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 设向量，则 A. B. C. D.与的夹角为 2. 若复数为纯虚数，则的值为 A. 1B. C. iD. 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为 A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D在BC边上，则sinB的值为 A. B. C. D. 5. 在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB
2、，AD所成的角为，则，在长方体中，对角线与棱AB，AD，所成的角分别为，与平面AC，平面，平面所成的角分别为，则下列说法正确的是 ；A. B. C. D. 6. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，平面ABC，若该三棱锥的体积是，则球O的表面积是 A. B.
3、C. D. 8. 在中，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9. 设向量，则下列叙述错误的是 A. 若，则与的夹角为钝角 B. 的最小值为2C. 与垂直的单位向量为 D. 若，则10. 已知复数， 为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是 A. 对应的点在复平面的第二象限 B. C. 的实部为D. 的虚部为11. 对于，有如下命题，其中错误的是 A. 若，则为锐角三角形B. 若，B=30，则的面积为C. P在所在平面内，若，则P是的重心D. 若，则为等腰三角形12. 如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点E为棱上
4、任意一点，则下列结论正确的是 A. 直线与直线BE所成角的范围是B. 在棱上存在一点E，使平面C. 若E为棱的中点，则平面ABE截三棱柱所得截面面积为D. 若F为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设复数，则 14. 已知向量，若，则_15. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，现有如下四个结论：平面三棱锥的体积为定值异面直线AE，BF所成的角为定值其中正确结论的序号是16. 已知三边长分别为3，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤。17. 如图，在中，E是的中点，设，（）试用，表示；（）若，且与的夹角为，求18. 从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答在中，角所对的边分别为满足条件_（）求角B的大小；（）若，求b的值注：第一问多种选择作答按照第一种选择解答判分19. 如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点（）求证：平面ABC（）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面并说明理由20. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，E，F为AD，PC的中点（）求证：平面BEF；（）求证：21. 某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路
6、灯灯杆，在E处安装路灯，且路灯的照明张角已知（）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值22. 如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G（）证明G是AB的中点；（）在答题卡第22题图中作出点E在平面PAC内的正投影说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积答案和解析1.【答案】C【解答】解：因为故A错误因为，所以，所以与不共线，故B错误因为，所以因为，所以，故D错误因为，所以，所以，故C正确故选C2.【答案】D【解答】解：复数为纯虚数，解得又，则故选D3.【答案
7、】A【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，所以棱台的斜高为：所以棱台的侧面积是：故选：A4.【答案】B【解答】解：因为，所以为等边三角形，所以，所以，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得，故选B5.【答案】D【解答】解：由已知，所以错，对；，所以，对，所以，对故选D6.【答案】A【解析】解：如图所示，建立直角坐标系不妨设，则，解得设，则，设，则，故选：A7.【答案】D【解答】解：因为，易知三角形ABC为等腰直角三角形，又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，因为三棱锥的体积，所以，设球O的半径为r，则，所以球O的表面积故选D8.【答案】B【解答】解：由题意，设
8、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由，得，又，得，可得，根据同角三角函数的基本关系得，由，根据正弦定理得，又，解得，所以，因为，所以，又A，B，P三点共线，且P为线段AB上的动点，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选B9.【答案】CD【解答】解：对于A、因为向量，所以当时，且，即与的夹角为钝角，因此A正确；对于B、因为，所以的的最小值为2，因此B正确；对于C、设与垂直的单位向量为且，所以且，解得或因此与垂直的单位向量为或，所以C不正确；对于D、因为，所以，解得或，所以D不正确；故选CD10.【答案】BC【解答】解：，对应点为在第三象限，实部为，虚部为，选项B，C正确
9、，选项AD错误故选BC11.【答案】ABD【解答】解：对于选项A：若，则，由正弦定理知：，由余弦定理知：，又因为，所以C为钝角，故A错误；对于选项B：由余弦定理知：，即，解得：或2，则或，故B错误；对于选项C：设AB的中单为D，则，因为，所以，则P为CD的靠近D点的三等分点，由重心性质知，P为的重心，故C正确；对于选项D：若，A，B为三角形的内角，则或，即或，所以为等腰三角形或者直角三角形，故D错误；故选ABD12.【答案】AC【解析】解：，直线与直线BE所成角的范围可转化为直线与直线所成角的范围，又点E为棱上任意一点且是等腰直角三角形，直线与直线BE所成角的范围是，对；作交BC于点O，连接可
10、知四边形是平行四边形，假设平面成立，则中对的角是直角最大，这与矛盾，假设不成立，错；作交于点G，连接GA，得截面四边形ABEG是等腰梯形，直三棱柱中，所在棱长均为1且若E为棱的中点，得，梯形高，梯形面积即截面积为：，对；三棱锥体积可转化为求三棱锥的体积，由图可知点E到棱的距离即为点E到底面ABF的距离点E为棱上任意一点，点E到棱的距离的最大值是点到的距离，底面的面积是定值，三棱锥体积的最大值为，错故选：AC直线与直线BE所成角的范围可转化为直线与直线所成角的范围，可判断选项A；作交BC于点O，连接若平面成立，则，可分析边长判断选项B；作交于点G，连接GA，得截面四边形ABEG，计算该四边形面积
11、可判断选项C；求三棱锥体积可转化为求三棱锥的体积，计算可判断选项D；13. 【答案】14. 【答案】【解答】解：向量，故答案为15.【答案】【解答】解：由，可得平面，又平面，故可得出，此命题正确由正方体的两个底面平行，EF在平面内，故EF与平面ABCD无公共点，故有平面ABCD，此命题正确为定值，B到EF距离为定值，所以的面积是定值，又因为A点到平面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确由题干图知，当F与重合时，此时E与上底面中心O重合，则两异面直线所成的角是，当E与重合时，此时点F与上底面中心O重合，则两异面直线所成的角是，由余弦定理得，所以，所以这两个角不相等，故异面直线AE，B
12、F所成的角不为定值，此命题错误，故答案为16.【答案】【解答】解：不妨设，则由余弦定理有，所以，设，则，则，同理，所以，当时，取等号，又，当时，取等号，所以当时，取得最小值故答案为17.【答案】解：；由题意可得，18.【答案】解：选，选，即，选，即，；，由余弦定理得，19.【答案】解：连接AE，如图，四边形ABED是正方形，F是BD的中点，是AE的中点又G是EC的中点，平面ABC，平面ABC，平面ABC存在，且点P为CD的中点理由如下：如图，取CD的中点P，连接GP，FP，P分别为BD，CD的中点，又平面ABC，平面ABC，平面ABC又平面ABC，平面平面ABC20.【答案】证明：连接AC交B
13、E于O，并连接EC，FO，E为AD中点，且，四边形ABCE为平行四边形，为AC中点，又为PC中点，平面BEF，平面BEF，平面BEF连接PE，E为AD中点，E为AD的中点，四边形BCDE为平行四边形，PE、BE都在平面PBE内平面PBE，平面PBE，21.【答案】解：当重合时，由余弦定理知，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可知，解得；易知E到地面的距离，由三角形面积公式可知，所以，又由余弦定理可知，当且仅当时，等号成立，所以，解得答：路灯在路面的照明宽度为；照明宽度MN的最小值为22.【答案】解：证明：为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，平面ABC，平面ABC，则，又E为D在平面PAB内的正投影，面PAB，面则，PD，平面PDE，平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则，又，是AB的中点；在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影正三棱锥的侧面是直角三角形，又，所以，PA，平面PAC，因此平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD由题设可得平面PAB，平面PAB，所以，因此，由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得，在等腰直角三角形EFP中，可得所以四面体PDEF的体积