1、(见学生用书P229页)（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题1.把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示). 则第七个三角形数是( )A.27 B.28 C.29 D.3【解析】 观察三角形数的增长规律，可以发现第一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是123456728.【答案】 B2.数列an满足，若a1=，则a2 014=（ ）A.B. C.D. 【解析】 由已知a2=2=，a3=21=，a4=21=，a5=2=,数列是一个周期数列，且
2、以4为周期，而2 014=4503+2，a2014=a2=，选D.【答案】 D3.(2014石家庄模拟)已知数列an：，依它的前10项的规律，则a99a100的值为( )A. B. C. D.【解析】通过将数列的前10项分组得到第一组有一 个数，分子分母之和为2；第二组有两个数，分子分母之和为3；第三组有三个数，分子分母之和为4；第四组有四 个数，依此类推，a99，a100分别是第十四组的第8个 、第9个数，分子分母之和为15，所以a99，a100，故选A.【答案】A4.(2014湖州模拟)设函数f(x) (3a)x3，x7， ax6，x7，数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数
3、列，则实数a的取值范围是( )A.(，3) B.，3) C.(1,3) D.(2,3)【解析】数列an是递增数列，又anf(n)(nN*)， 3a0， a1， f(8)f(7)2a2 B.3 C.2 D.bn，得2n(n)2n1(n1)，即n1恒成立，而n1的最小值为2，故的取值范围为2.【答案】C二、填空题7.已知数列2n-1an的前n项和Sn=9-6n，则数列an的通项公式是 .【解析】 当n=1时，20a1=S1=3，a1=3；当n2时，2n-1an=Sn-Sn-1=-6，an=-.通项公式an=.【答案】 an=.8.(2014淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为. 【解析
4、】每行的第二个数构成一个数列an，由题意知a23，a36，a411，a518，所以a3a23，a4a35，a5a47，anan12(n1)12n3，等式两边同时相加得ana2n22n，所以ann22na2n22n3(n2)，所以a99229366.【答案】669.已知数列 an 满足(m为正整数)，若，则m所有可能的取值为.【解析】 若an为偶数，则an2an1；若an为奇数，则.因为，反推得(舍去)，(舍去).若为偶数，则，(舍去).所以或.若为奇数，则，.综上，得m4,5,32.【答案】 4,5,3210. 已知数列中，Sn是其前n项和，,，,且，则 , S2 013= .【解析】 由,得
5、,.又,再由，即得,从而可得，即该数列是一个周期为3的周期数列，故S2 013=（1+2+3）671=4 026.【答案】 6 4 026三、解答题11.(2013无锡模拟)设数列bn满足：，(1)求证：；(2)若，对任意的正整数n, 恒成立.求m的取值范围.【解析】(1)证明：，对任意的，.，即.(2) .，数列bn是单调递增数列.数列Tn关于n递增. .，.恒成立.，.12.已知数列an的前n项和为Sn，并且满足a12，nan1Snn(n1).(1) 求数列an的通项公式；(2) 令TnnSn，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有TnTm？若存在，求m的值；若不存在，说明理由.【解析】(
6、1) 令n1，由a12及nan1Snn(n1)， 得a24，故a2a12，当n2时，有(n1)anSn1n(n1)，得nan1(n1)anan2n.整理得an1an2(n2).当n1时，a2a12，所以数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，故an2(n1)22n.(2) 由(1)得Snn(n1)，所以Tnn(n2n).故Tn1n1(n1)2(n1)，令 TnTn1， TnTn1，即 n（n2n）n1（n1）2（n1）， n（n2n）n-1（n-1）2（n-1），即 n（n2）， （n1）n1，解得8n9.故T1T2T10T11故存在正整数m对一切正整数n，总有TnTm，此时m8或m9.13
7、.设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围.【解析】(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，又S131a3(a3)，故数列Sn3n是首项为a3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，当n1时，a1a不适合上式，故ana，n1，23n1(a3)2n2，n2.an1an43n1(a3)2n22n21232n2a3，当n2时，an1an1232n2a30a9.又a2a13a1.综上，所求的a的取值范围是9，).