1、第四章4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程基础巩固一、选择题1若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F分别为()A4,8，4 B4,8,4C8，4,16 D4，8,16答案B解析圆的标准方程为(x2)2(y4)216，展开得x2y24x8y40，比较系数知D，E，F分别是4,8,4.2两圆x2y24x6y0和x2y26x0的圆心连线方程为()Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70答案C解析两圆的圆心分别为(2，3)、(3,0)，直线方程为y(x3)即3xy90，故选C3若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离为，则a的值为()A2或2
2、B或C2或0 D2或0答案C解析化圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则由圆心(1,2)到直线xya0距离为，得，a2或0.4若点(2a，a1)在圆x2y22y5a20的内部，则a的取值范围是()A(， B(，)C(，) D(，)答案D解析化圆的标准方程为x2(y1)25a21，点(2a，a1)的圆的内部，则(2a)2(a11)25a21，解得a.5圆C：x2y2x6y30上有两个点P和Q关于直线kxy40对称，则k()A2 BC D不存在答案A解析由题意得直线kxy40经过圆心C(，3)，所以340，解得k2.故选A6当a取不同的实数时，由方程x2y22ax2ay10可以得到不同的圆，则(
3、)A这些圆的圆心都在直线yx上B这些圆的圆心都在直线yx上C这些圆的圆心都在直线yx或yx上D这些圆的圆心不在同一条直线上答案A解析圆的方程可化为(xa)2(ya)22a21，圆心为(a，a)，在直线yx上二、填空题7圆心是(3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为_ _.答案x2y26x8y480解析只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程8设圆x2y24x2y110的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_ _.答案x2y24x2y10解析设M(x，y)，A(2，1)，则P(2x2,2y1)，将P代入圆方程得：(2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)11
4、0，即为：x2y24x2y10.三、解答题9判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径分析本题可直接利用D2E24F0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数解析解法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，因此，当m2时，D2E24F0，它表示一个点，当m2时，D2E24F0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.解法二：原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点，当m2时，原方程表示圆的方
5、程此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.点评(1)形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：由圆的一般方程的定义判断D2E24F是否为正若D2E24F0，则方程表示圆，否则不表示圆将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆(2)在书写本题结果时，易出现r(m2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数10已知圆经过点(4,2)和(2，6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为2，求圆的方程解析设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(4,2)和(2，6)，代入圆的一般方程，得设圆在x轴上的
6、截距为x1、x2，它们是方程x2DxF0的两个根，得x1x2D设圆在y轴上的截距为y1、y2，它们是方程y2EyF0的两个根，得y1y2E.由已知，得D(E)2，即DE20.由联立解得D2，E4，F20.所求圆的方程为x2y22x4y200.规律总结：在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便能力提升一、选择题1若圆x2y22ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析圆x2y22ax3by0的圆心为(a，b)，则a0.直线yx，其斜率k0，在y轴上的截距为0，所以直线不
7、经过第四象限，故选D2在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面只为()A5 B10C15 D20答案B解析圆x2y22x6y0化成标准方程为(x1)2(y3)210，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|2.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且ACBD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可是|BD|222.从而四边形ABCD的面积为|AC|BD|2210.3已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(
8、)A B4C8 D9答案B解析设点P的坐标为(x，y)，则(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为224.4若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为()A B5C2 D10答案B解析由题意，得直线l过圆心M(2，1)，则2ab10，则b2a1，所以(a2)2(b2)2(a2)2(2a12)25a255，所以(a2)2(b2)2的最小值为5.二、填空题5已知圆C：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆C上，则a_ _.答案2解析由题
9、意可知直线l：xy20过圆心，120，a2.6若实数x，y满足x2y24x2y40，则的最大值是_ _.答案3解析关键是搞清式子的意义实数x，y满足方程x2y24x2y40，所以(x，y)为方程所表示的曲线上的动点.，表示动点(x，y)到原点(0,0)的距离对方程进行配方，得(x2)2(y1)29，它表示以C(2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值三、解答题7自A(4,0)引圆x2y24的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程分析由题目可获取以下主要信息：点A(4,0)是定圆外一点；过A的直线交圆于B，C两点解答本题可先设出
10、动点P的坐标(x，y)，然后由圆的几何性质知OPBC，再利用kOPkAP1，求出P(x，y)满足的方程也可由圆的几何性质直接得出动点P与定点M(2,0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P点的轨迹方程解析方法1：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OPBC，当x0时，kOPkAP1，即1，即x2y24x0.当x0时，P点坐标(0,0)是方程的解，BC中点P的轨迹方程为x2y24x0(在已知圆内的部分)方法2：(定义法)由方法1知OPAP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|OA|2，由圆的定义知，P的轨迹方程是(x2)2y24(在已知圆内的部分)规律总结：针对这个类型的题目，常用的
11、方法有(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：建系，找出动点M满足的条件，用坐标表示此条件，化简，验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可8已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示一个圆(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程解析(1)要使方程表示圆，则4(m3)24(14m2)24(16m49)0，即4m224m36432m264m464m4360，整理得7m26m10，解得m1.(2)r.0r.(3)设圆心坐标为(x，y)，则.消去m可得(x3)2(y1)m1，x4.故圆心C的轨迹方程为(x3)2(y1)(x4)