1、2.3 等差数列的前n项和（二） 一、教学目标：1 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质2 掌握等差数列前n项和的最值问题3 理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.二、填要点、记疑点：1 数列中an与Sn的关系对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为an2 由数列前n项和Sn判断数列的类型由于等差数列前n项和公式Snna1dn2n.令A，Ba1，则SnAn2Bn，所以Sn是关于n的常数项为0的二次函数()或一次函数()反过来，对任意数列an，如果Sn是关于n的常数项为0的二次函数，那么这个数列也是等差数列3 等差数列前n项和的最值(1) 因为Snn2n，若
2、d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定三、知识探究：情境导学如果已知数列an的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？这就是本节我们探究的主要问题探究点一已知数列an的前n项和Sn求an例1已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据Sna1a2an1an与Sn1a1a2an1(n1)，
3、可知，当n1时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n当n1时，a1S1121，也满足式数列an的通项公式为an2n.由此可见：数列an是以为首项，公差为2的等差数列跟踪训练1已知数列an的前n项和Snn2n+1，求an.解当n1时，a1S1；n2时，anSnSn1n2n+1(n1)2(n1)+12n.当n1时代入an2n得a1.an.反思与感悟:（1）已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示（2）等差数列的前n项和Sn一定是关于n的且没有常数项的二次()或一次函数().探究点二等差数
4、列前n项和的最值思考1将等差数列前n项和Snna1d变形为Sn关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答由于Snna1dn2(a1)n，所以当d0时，Sn为关于n的二次函数，且常数项为0.思考2类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？答由二次函数的性质可以得出：当d0时，Sn有最小值；当d0，d0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值(2)若a10，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值；特别地，若a10，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d0，则S1是Sn的最大值例2已知等差数列5,4，3，的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值解由题意知，等差数列5,4，3，的公差为，所以Sn5n()(n)2.于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值另解：ana1(n1)d5(n1)n.ann0，解得n8，即a80，a90.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大跟踪训练2在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值解方法一an2n14，a112，d2.a1a2a6a70a8a90，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值4学习时一定要建立函数思想来认识数列，但要注意数列的特殊性：定义域是或它的有限子集.
