1、高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 的表面积是 .9 5（2008 江西 15）连结球面上两点的线段称为球的弦半径为 4 的球的两条弦 ABCD、的长度分别等于2 7、4 3，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 5 6（2008 辽宁 14）在体积为4 3 的球的表面上有 A、B，C 三点，AB=1，BC=2，A，C 两点的球面距离为33 ，则球心到平面 ABC 的距离为_ 32 9（2008 浙江 15）已知球 O 的面上四点 A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC，DA=AB=BC=3，则球 O 点体积等于 。92 10(200
2、8 天津 13)若一个球的体积为4 3，则它的表面积为 12 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 MABDCOQMABDCOP三、解答题 1（2008 安徽 19）（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥OABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形，4ABC,OAABCD 底面,2OA,M 为OA的中点。（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。方法一（综合法）（1）CDAB,MDC为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角）作,APCDP于连接 MP 平面ABCD，OACDMP 2,42ADPDP=222MD
3、MAAD，1cos,23DPMDPMDCMDPMD 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 方法二(向量法)2（2008 北京 16）（本小题共 14 分）高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 如图，在三棱锥 PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角 BAPC的大小 解法一：（）取 AB 中点 D，连结 PDCD，APBP，PDAB ACBC，CDAB PDCDD，AB 平面 PCD PC 平面 PCD，PCAB 解法二：（）ACBC，APBP，A
4、PCBPC 又 PCAC，PCBC ACBCC，PC 平面 ABC AB 平面 ABC，PCAB ACB PACB D PAC B PzxyE高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 3（2008 福建 19）（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD=2,底面 ABCD为直角梯形，其中 BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2，O 为 AD 中点.()求证:PO平面 ABCD；()求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值；()求点 A 到平面 PCD 的距离.解法一：（）证明：在PAD 卡中 PAPD，O
5、 为 AD 中点，所以 POAD.又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中，BCAD,AD=2AB=2BC，有 ODBC 且 ODBC，所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OBDC.由（）知 POOB，PBO 为锐角，所以PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角.因为 AD2AB2BC2，在 RtAOB 中，AB1，AO1，所以 OB2，在 RtPOA 中，因为 AP2，AO1，所以 OP1，高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 在 RtPBO 中
6、，PB322 OBOP,cosPBO=3632 PBOB,所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 36.解法二：（）同解法一，（）以 O 为坐标原点，OPODOC、的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz.则 A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以CD（-1，1，0），PB（t，-1，-1），PB、CD=362311CDPBCDPB，所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 36，（）设平面 PCD 的法向量为 n（x0,y0,x0），高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师
7、踊跃来稿，稿酬丰厚。 4（2008 广东 18）（本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD是圆的直径，ABD=60,BDC=45,ADPBAD.(1)求线段 PD 的长；(2)若 PC=11 R，求三棱锥 P-ABC 的体积.解：（1）BD 是圆的直径 90BAD 又 ADPBAD,ADDPBAAD,22234sin 60431sin3022RBDADDPRBABDR;(2)在 Rt BCD中，cos452CDBDR 2222229211PDCDRRRPC PDCD 又 90PDA PD 底面 ABCD 21132
8、1231sin 6045222222 24ABCSAB BCRRR 三棱锥 PABC的体积为 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2311313133344P ABCABCVSPDRRR.5（2008 宁夏 18）（本小题满分 12 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结 BC，证明：BC面 EFG 46 422E D A B CF GBCD2 高考资源网（），您身边的高考专家
9、 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 6（2008 江苏 16）（14 分）在四面体 ABCD 中，BDADCDCB,，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点，求证：（1）直线 EF/面 ACD（2）面 EFC面 BCD 7（2008 江西 20）如图，正三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC 两两垂直，且长度均为 2E、F 分别是 AB、AC 的中点，H 是 EF 的中点，过 EF 的平面与侧棱OA、OB、OC 或其延长线分别相交于1A、1B、1C，已知132OA （1）求证：11B C 面OAH；（2）求二面角111OA BC的大小 解：（1）证明：依题设，EF 是 ABC的中位线，所以
10、EF BC，则 EF 平面OBC，所以 EF 11B C。又 H 是 EF 的中点，所以 AH EF，则 AH 11B C。因为OA OB，OA OC，所以OA 面OBC，则OA 11B C，因此11B C 面OAH。B1C1A1HFECBAO高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解法二：（1）以直线OAOCOB、分别为 xy、z 轴，建立空间直角坐标系，Oxyz则 1 1(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,)2 2ABCEFH 所以1 11 1(1,),(1,),(0,2,2)2 22 2AHOHBC 所以0,0
11、AH BCOH BC 所以 BC 平面OAH 由 EF BC 得11B C BC，故：11B C 平面OAH (2)由已知13(,0,0),2A设1(0,0,)Bz 则111(,0,1),(1,0,1)2A EEBz 由1A E与1EB共线得:存在R 有11A EEB得 B1C1A1HFECBAOxyz高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 11321(1)(0,0,3)zzB 同理:1(0,3,0)C 111133(,0,3),(,3,0)22A BAC 设1111(,)nx y z是平面111A B C 的一个法向量,则33023302xzxy令2x 得1yx
12、1(2,1,1).n 又2(0,1,0)n 是平面11OA B 的一个法量 1216cos,64 1 1n n 所以二面角的大小为6arccos 6 8（2008 江苏选修）记动点 P 是棱长为 1 的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD B当APC为钝角时，求 的取值范围 解：由题设可知，以 DA、DC、1DD为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则有(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,1,0)C,(0,0,1)D 由1(1,1,1)D B，得11(,)D PD B，所以11(,)(1,0,1)(1,1)PAPDD A 11
13、(,)(0,1,1)(,1,1)PCPDD C 显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于 xyzCBADD1C1B1A1P高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 coscos,0PA PCAPCPA PCPA PC ，则等价于0PA PC 即 2(1)()()(1)(1)(1)(31)0，得 113 因此，的取值范围是 1(,1)3 9（2008 湖南 18）（本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 的底面积 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E是 CD 的中点，PA底面积 ABCD，PA 3.()证明：平面 PBE平面 PAB；()求二面角
14、 ABEP 的大小.解 解法一()如图年示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且BCD60知，BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD，又 ABCD，所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD，BE平面 ABCD，所以 PABE.而PAABA，因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.()由()知，BE平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE.又 ABBE，所以PBA 是二面角 ABEP 的平面角.在 RtPAB 中，tanPBA3ABPA，PBA60.故二面角 ABEP 的大小是 60.解法二 如图所示，以 A 为原点，建立空间直
15、角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,23,23)，D(0,23,21)，P(3,0,0)，E(0,23,1).高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。()因为)0,23,0(BE，平面 PAB 的一个法向量是0n(0,1,0)，所以 BE 和0n 共线.从而 BE平面 PAB.又因为 BE平面 BEF，所以平面 PBE平面 PAB.10（2008 辽宁 19）（本小题满分 12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 中，AP=BQ=b（0b1），截面 PQEF A D，截面 PQGH AD （）证明：平面
16、PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若12b，求 D E与平面 PQEF 所成角的正弦值 解法一：（）证明：在正方体中，ADA D，ADAB，又由已知可得 PFA D，PHAD，PQAB，所以 PHPF，PHPQ，所以 PH 平面 PQEF 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直4 分（）证明：由（）知 22PFAPPHPA，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 ABCDE FPQHABCDG高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教
17、师踊跃来稿，稿酬丰厚。(22)2APPAPQ，是定值8 分 解法二：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得1DFb，故(10 0)A，(1 01)A，(0 0 0)D，(0 01)D，(1 0)Pb，(11)Qb，(11 0)Eb，(10 0)Fb，(11)G b，(01)H b，（）证明：在所建立的坐标系中，可得(01 0)(0)PQPFbb，(1 01)PHbb，(1 01)(1 01)ADA D ，因为00AD PQAD PF ，所以 AD是平面 PQEF 的法向量 因为00A D PQA D PH ，所以 A D是平
18、面 PQGH 的法向量 因为0AD A D，所以 A DAD，所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直4 分（）证明：因为(01 0)EF，所以 EFPQ EFPQ，=，又 PFPQ，所以 PQEF为矩形，同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得2(1)PHb，2PFb，ABCDE FPQHABCDy xzG高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 所以2PHPF，又1PQ，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为2，是定值 8 分 11（2008 全国18）（本小题满分 12 分）四棱锥 ABCDE中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE，2BC，2CD，ABAC（）证明：ADCE；（）设侧面 ABC 为等边三角形，求二面角CADE的大小 解：（1）取 BC 中点 F，连接 DF 交CE 于点O，ABAC，AFBC，又面 ABC 面 BCDE，AF 面 BCDE，AFCE 2tantan2CEDFDC，90OEDODE ，90DOE，即CEDF，CE 面 ADF，CEAD（2）在面 ACD 内过C 点做 AD 的垂线，垂足为G CGAD，CEAD，AD 面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角 2 33AC CDCGAD，63DG，CDEAB