1、第三节模拟方法1几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，称这种模型为几何概型2几何概型的计算公式P(点M落在G1).易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的试一试1在长为6 m的木棒AB上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是()A.B.C.D.解析：选B将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离大于2 m，P.2四边形ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长
2、方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1解析：选B如图，要使图中的点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P1.几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度有关的几何概型，其试验结果只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其试验结果与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样试验结果就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型(方法参见考点二“类题通法”)练一练1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴
3、影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_解析：设阴影区域的面积为S，则，S.答案：2若不等式组表示的平面区域为M，(x4)2y21表示的平面区域为N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是_解析：如图所示：P.答案：考点一与长度、角度有关的几何概型1(2013石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.B.C. D.解析：选C如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为，设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦，交直径A
4、B于点N，所以当过AB上的点且垂直AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上变化，所以所求概率P.2.(2013北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在yOT内的概率为.答案：3(2013福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：因为0a1，由3a10得0”发生的概率为.答案：类题通法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不
5、同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)考点二与体积有关的几何概型典例(2013深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.解析根据几何概型知识，概率为体积之比，即P.答案A类题通法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求针对训练在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于
6、1的概率为()A. B1C. D1解析：选B正方体的体积为：2228，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：r313，则点P到点O的距离大于1的概率为：11.考点三与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划知识交汇命题的问题；(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题.角度一与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1(2013陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号
7、来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.解析：选A由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12，矩形面积为2，则所求概率为1.角度二与线性规划交汇命题的问题2(2013四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B.C. D.解析：选C设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则如图，不等式组所表示的图形面积
8、为16，不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16412，由几何概型的公式可得P.角度三与平面向量的线性运算交汇命题的问题3已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B.C. D.解析：选D由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处记黄豆落在PBC内为事件D，则P(D).类题通法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解课堂练通考点1已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概
9、率为()A.B.C. D.解析：选C如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，ABD为钝角三角形所以ABD为钝角三角形的概率为.2在区间5,5内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2axa20的一个解的概率为()A0.3 B0.4C0.6 D0.7解析：选D由已知得2aa22或a1.故当a5，1)(2,5时，1是关于x的不等式2x2axa2，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，则PM，BN分别为APC与ABC的高，所以，又，所以，故所求的概率为(即为长度之比)答案：
