1、高考资源网（） 您身边的高考专家45函数的应用(二)45.1函数的零点与方程的解内容标准学科素养1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数直观想象逻辑推理2.了解函数零点与方程根的关系3.利用函数零点定理判定函数零点的存在.授课提示：对应学生用书第69页教材提炼知识点一函数零点函数f(x)x22x3的零点是什么？ 知识梳理(1)对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(zero point)(2)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数解，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标(3)方程f(x)0有实数解函数yf(x)有零点函数y
2、f(x)的图象与x轴有公共点知识点二函数零点存在定理函数f(x)x22x3在区间(2,4)内有零点吗？f(2)、f(4)符号如何？ 知识梳理函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0,_这个c也就是方程f(x)0的解自主检测1函数f(x)2 020x2 019的零点是()A(，0)B2 020C2 019 D.答案：D2函数f(x)x33x3有零点的区间是()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案：D3若函数f(x)ax2的零点是1
3、，则a_.答案：24函数f(x)lg x的零点为_答案：授课提示：对应学生用书第69页探究一求函数的零点例1求函数f(x)x37x6的零点解析令f(x)0，即x37x60，x3x(6x6)0，x(x1)(x1)6(x1)0，(x1)(x2)(x3)0，解得x11，x22，x33，函数f(x)x37x6的零点是1,2，3.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.已知函数f(x)loga(2x)(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点解析：(1)要使函数有意义，须2x0，解得x2，函数
4、定义域为(，2)(2)令f(x)loga(2x)0，2x1解得x1.1(，2)，函数f(x)的零点为1.探究二判断函数零点个数例2教材P143例1拓展探究(1)求方程logax2x60的实数解的个数解析由logax2x60得logax2x6当a1时，作ylogax与y2x6的图象，ylogax为增函数，y2x6为减函数，有一个交点当0a1时，作ylogax与y2x6的图象，随x的增大，ylogax的递减逐渐变慢，有两个交点故当a1时，方程有一个实数解当0a1时，方程有两个实数解(2)探求函数f(x)axxa零点的个数解析作yax及yxa的图象，当0a1时，图象如所示由图可知：当0a1时，两图象
5、有2个交点，即原函数有2个零点对于一般函数的零点个数的判断问题，不仅要用零点存在性定理来判断区间a，b上是否有f(a)f(b)0，还需要结合函数的图象和单调性来判断零点个数：(1)若函数f(x)在a，b上单调，且f(a)f(b)0，则f(x)存在零点，且在(a，b)上只有1个零点(2)若通过构造f(x)g(x)h(x)，且g(x)、h(x)图象容易作出，则f(x)的零点个数就是g(x)与h(x)图象交点个数，通过作图容易得到f(x)零点个数探究三判断函数的零点、方程的根所在的区间例3(1)函数y2xx的零点所在的区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)(2)若方程log3x
6、x3的解所在的区间是(k，k1)且kZ，则k_.解析(1)记f(x)2xx，则f(2)22(2)0，f(1)21(1)0，所以零点所在的区间为(1,0)(2)令f(x)log3xx3，则f(2)log3210，f(3)10，由零点存在性定理得f(2)f(3)0，零点所在区间为(2,3)，k2.答案(1)B(2)2确定函数零点、方程根所在区间，可以利用函数零点存在性定理，转化为区间两端点函数值是否相反1若函数f(x)ax2x1的负零点有且仅有一个，则实数a的取值范围为_解析：当a0时，f(x)x1，令f(x)0，得x1，符合题意；当a0时，此函数图象开口向上，又f(0)10，结合二次函数图象知符
7、合题意；当a0时，此函数图象开口向下，又f(0)10，从而有即a.综上可知，实数a的取值范围为a或a0.答案：2试判断方程x32x在区间1,2内是否有实数根解析：令f(x)x32x，因为函数f(x)x32x的图象在区间1,2上是连续曲线，并且f(1)1210，所以f(1)f(2)0，所以函数f(x)x32x在区间1,2内至少有一个零点，即方程x32x在区间1,2内至少有一个实数根授课提示：对应学生用书第70页一、研究函数零点的个数及参数范围将函数零点转化为两个函数图象的交点的横坐标从而利用图象直观想象函数的变化特征，得出交点个数进而得出参数的范围典例1.函数f(x)|x2|ln x在定义域内零
8、点的个数为()A0B1C2 D3解析由题意及函数零点的定义，知f(x)在(0，)内的零点即方程|x2|ln x0的根令y1|x2|，y2ln x(x0)，如图，在同一个直角坐标系中分别作出两个函数的图象由图象可得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点答案C2规定x表示不超过x的最大整数，f(x)若方程f(x)ax1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是()A1，) B，)C，) D，)解析将“方程f(x)ax1有且仅有四个实数根”的问题，转化为分析函数yf(x)与yax1的图象交点问题当x0，)时，且f(x)xk，xk，k1)(kN)；当x(，0)时，f(x)是指数型
9、函数，将y()x的图象向下平移2个单位，则过点(0，1)，如图所示而直线yax1恒过定点(0,1)显然直线l1与函数图象的交点个数为4，直线l2与函数图象的交点个数为5，则当直线介于图中两条直线l1，l2之间时满足题意又l1的函数解析式为yx1，l2的函数解析式为yx1.故由图象直观想象，a的取值范围为.答案B二、忽略限制条件致错典例若函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，则实数a的取值范围为_解析因为函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，且f(0)20，所以或解得a4或a4，即a.所以实数a的取值范围为，)答案，)纠错心得函数yf(x)的零点可转化为方程f(x)0的实数根或函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，解答零点个数问题时，应注意灵活应用如本例中，将原问题转化为函数f(x)的图象与x轴在0,4上至少有一个公共点- 7 - 版权所有高考资源网
