1、课时训练8等差数列的性质一、等差数列性质的应用1.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24答案:B2.等差数列an中,若a2+a4 024=4,则a2 013=()A.2B.4C.6D.-2答案:A解析:2a2 013=a2+a4 024=4,a2 013=2.3.在等差数列an中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于()A.24B.22C.20D.-8答案:A解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.4.如果
2、等差数列an中,a1=2,a3=6,则数列2an-3是公差为的等差数列.答案:4解析:设数列an的公差为d,则a3-a1=2d=4,d=2.数列2an-3的公差为4.5.在等差数列an中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.答案:13解析:设等差数列an的公差为d.a5=a2+6,a5-a2=6,即3d=6,d=2.a6=a3+3d=7+32=13.6.(2015河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=.答案:72解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=112.又可得2a=2+b=2+112=152,解得a=154,同理可得2c=9+112=292,解得c=2
3、94,故c-a=294-154=144=72.二、等差数列的综合应用7.已知等差数列an中,a7=4,则tan(a6+a7+a8)等于()A.-33B.-2C.-1D.1答案:C解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=34,tan(a6+a7+a8)=tan34=-1.8.已知数列an是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为()A.4B.14C.-4D.-14答案:A解析:由数列an是等差数列,知an是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的
4、直线斜率,所以直线的斜率k=27-157-4=4.9.在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-13a14的值为()A.12B.14C.16D.18答案:A解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,a10-13a14=a1+9d-13(a1+13d)=23(a1+7d)=2318=12,故选A.10.数列an满足a1=1,an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),是常数.(1)当a2=-1时,求与a3的值;(2)数列an是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.解:(1)由条件得a
5、2=(2-)a1,又a1=1,a2=-1,所以=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.(2)假设数列an是等差数列,由a1=1,an+1=(n2+n-)an得a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-).由假设知2a2=a1+a3,即2(2-)=1+(6-)(2-),解得=3,于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列an是等差数列矛盾,故数列an不可能是等差数列.(建议用时:30分钟)1.已知an为等差数列,a2+a8=12,则a5等于()A.4B.5C.6D.7答案:C解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=1
6、2,所以a5=6.2.在等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为()A.6B.12C.24D.48答案:D解析:a1+a15=2a8,a1+3a8+a15=5a8.5a8=120,a8=24.而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.选D.3.若数列an为等差数列,ap=q,aq=p(pq),则ap+q为()A.p+qB.0C.-(p+q)D.p+q2答案:B解析:公差d=p-qq-p=-1,ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.4.由公差d0的等差数列a1,a2,an,组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,下列说法正
7、确的是()A.该新数列不是等差数列B.是公差为d的等差数列C.是公差为2d的等差数列D.是公差为3d的等差数列答案:C解析:(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,是公差为2d的等差数列.5.已知an为等差数列,若a1+a5+a9=8,则cos(a3+a7)的值为()A.32B.-32C.12D.-12答案:D解析:an为等差数列,a1+a5+a9=8,a5=83,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos 163=-12.6.等差数列an中,已知a3=10,a8=-20,则公差d=.答案:-6解
8、析:由题知d=a8-a38-3=-305=-6.7.在等差数列an中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中mN*,且1m7,则a8=.答案:8解析:a8+m+a8-m=2a8,a8=8.8.如果有穷数列a1,a2,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,am=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列cn中,c11,c12,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,c2=.答案:19解析:因为c11,c12,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,又cn为21项的对称数列,所以c2=c20=c11+
9、9d=1+92=19.9.已知等差数列an中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.解:a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15.a4=5.又a2a4a6=45,a2a6=9.即(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=2.若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.10.已知an为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.解:解法一:因为an为等差数列,a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为其第4项,a60=a15+3d,得d=4.a75=a60+d=20+4=24.解法二:设an的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,a1+14d=8,a1+59d=20,解得a1=6415,d=415.故a75=a1+74d=6415+74415=24.