1、课时训练1正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A.acosA=bcosBB.ab=sinAsinBC.asin B=bcos AD.a=bsin A答案:B解析:在ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,即ab=sinAsinB.2.(2015山东威海高二期中,4)已知ABC的三个内角之比为ABC=321,那么对应的三边之比abc等于()A.321B.321C.321D.231答案:D解析:ABC=321,B=2C,A=3C,再由A+B+C=,可得C=6,故A=2,B=3,C=6.abc=sin Asin Bs
2、in C=13212=231.故选D.3.在ABC中,A=60,a=3,则a+b+csinA+sinB+sinC等于()A.833B.2393C.2833D.23答案:D解析:利用正弦定理及比例性质,得a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=3sin60=332=23.二、利用正弦定理解三角形4.(2015山东潍坊四县联考,2)在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于()A.46B.45C.43D.223答案:A解析:B=60,C=75,A=180-60-75=45.由正弦定理可得b=asinBsinA=8sin60sin45=46.故选A.5.在ABC中,三个内角A,
3、B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,b=3,B=60,那么A=()A.45B.135C.45或135D.60答案:A解析:由正弦定理可得sin A=22,但ab,所以AB,故A只能是锐角45.6.(2015河南南阳高二期中,2)在ABC中,A=30,AB=4,满足此条件的ABC有两解,则边BC长度的取值范围为()A.(23,4)B.(2,4)C.(4,+)D.(23,4)答案:B解析:满足条件的ABC有两解,ABsin 30BC4.2BCb,A=60或A=120.8.在ABC中,已知a=5,B=120,C=15,求此三角形最大的边长.解:B=120,C=15,A=180-B-C=180-
4、120-15=45.B最大,b最大.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=5sin120sin45=562.9.在ABC中,已知a=2,c=6,C=3,求A,B,b.解:asinA=csinC,sin A=asinCc=22.ca,CA.A=4.B=512,b=csinBsinC=6sin512sin3=3+1.三、判断三角形形状10.(2015河北邯郸三校联考,7)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:B解析:bcos C+ccos B=
5、asin A,由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,故A=2,故三角形为直角三角形.故选B.11.在ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,得sin B=2sin Ccos A,在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代入上式,可得sin Acos C+cos Asin
6、 C=2sin Ccos A,即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,又-A-C,A-C=0,即A=C.同理A=B,ABC为等边三角形,故选C.12.(2015山东威海高二期中,7)在ABC中,若acosA2=bcosB2=ccosC2,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:asinA=bsinB=csinC,acosA2=bcosB2=ccosC2,可化为sinAcosA2=sinBcosB2=sinCcosC2,即sinA2=sinB2=sinC2.A,B,C均为三角形的内角,A=B=C.即ABC为等
7、边三角形.故选C.(建议用时:30分钟)1.(2015福建厦门高二期末,3)在ABC中,若A=30,B=45,BC=2,则AC等于()A.233B.2C.1D.32答案:B解析:由正弦定理可得ACsinB=BCsinA,从而有AC=BCsinBsinA=2sin45sin30=2,故选B.2.在ABC中,已知a=52,c=10,A=30,则B等于()A.105B.60C.15D.105或15答案:D解析:由正弦定理csinC=asinA,得10sinC=52sin30,sin C=22.ac,AC,C=45或135.再由A+B+C=180,求出B=105或15.3.在ABC中,角A,B,C所对
8、的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=()A.-12B.12C.-1D.1答案:D解析:根据正弦定理asinA=bsinB=2R得,a=2Rsin A,b=2Rsin B,acos A=bsin B可化为sin Acos A=sin2B.sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.4.在ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=34,则ca的值为()A.2B.12C.32D.1答案:C解析:由正弦定理得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cos A=32.5.在ABC中,
9、b=22,a=2,且三角形有解,则A的取值范围是()A.0A30B.0A45C.60A90D.30A60答案:B解析:ABC有解,bsin Aa,即sin A22.又ab,A为锐角.0b可知B=150不合题意,B=30.C=180-60-30=90.7.在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=23asin B,且cos B=cos C,则ABC的形状是.答案:等边三角形解析:由正弦定理可将3b=23asin B化为3sin B=23sin Asin B.sin A=32.ABC为锐角三角形,A=3.又cos B=cos C,0B2,0Cb,则B=.答案:6解析:由正弦定理a
10、sinA=bsinB=csinC=2R,得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=122Rsin B.由0Bb,所以在ABC中,B为锐角,则B=6.9.在ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断ABC的形状.解:由已知得a2sinBcosB=b2sinAcosA,由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为ABC的外接圆半径),4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA.sin Acos A=sin Bcos B.sin 2A=sin 2B.又A,B为三角形的内角,2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=2.ABC为等腰或直角三角形.10.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=23,A=30,求ac的值.解:由正弦定理asinA=bsinB得sin B=bsinAa=6sin3023=32.由条件b=6,a=23,知ba,所以BA.B=60或120.(1)当B=60时,C=180-A-B=180-30-60=90.在RtABC中,C=90,a=23,b=6,则c=43,ac=2343=24.(2)当B=120时,C=180-A-B=180-30-120=30,A=C,则有a=c=23.ac=2323=12.6