1、一、选择题1设a、b为两条直线，、为两个平面下列四个命题中，正确的命题是()A若a、b与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab【解析】若直线a、b与成等角，则a、b平行、相交或异面；对选项B，如a，b，则a、b平行、相交或异面；对选项C，若a，b，ab，则、平行或相交；对选项D，由a或a，无论哪种情形，由b都有ba.故选D.【答案】D2平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a、b，a，b，a，bD存在两条异面直线a、b，a，b，a，b【解析】若l，al，a，a，a，a，排除A；若l，a，al，则a，B
2、错；若l，a，al，b，bl，则a，b，选项C错【答案】D3如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B EF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【解析】由AEEBAFFD14知EF綊BD，EF平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，HG綊BD，EFHG且EFHG.四边形EFGH是梯形选B.【答案】B4如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在AD1，
3、BC上移动，且始终保持MN平面DCC1D1，设BNx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()【解析】过M作MEAD于E，连接EN，则平面MEN平面DCC1D1，BNAEx(0x1)，ME2x，MN2ME2EN2，则y24x21，y24x21(0x0)，图象应是焦点在y轴上的双曲线的一部分故选C.【答案】C5如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF，则下列结论中错误的是()AACBEB EF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等【解析】由AC平面DBB1D1可知ACBE.故A正确EFBD，EF平面ABCD，BD平面
4、ABCD，知EF平面ABCD，故B正确A到平面BEF的距离即为A到平面DBB1D1的距离，即为，且SBEFBB1EF定值，故VABEF为定值，即C正确【答案】D6(2014北京海滨一模)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A.B.C. D，【解析】取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1MA1N，MN，所以当点P位于M，N处时，A1P最大，当P位于MN的中点O时，A1P最小，此时
5、A1O，所以A1OA1PA1M，即A1P，所以线段A1P长度的取值范围是.【答案】B二、填空题7如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_【解析】由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.【答案】平行8如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中，AB与CD相交；MNPQ；ABPE；MN与CD异面；MN平面PQC.其中真命题的序号是_【解析】将正方体还原后如图，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，、为真命题【答案】9空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四
6、边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是_【解析】设k，1k，GH5k，EH4(1k)，周长82k.又0k1，周长的范围为(8，10)【答案】(8，10)10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.【解析】HNDB，FHD1D，面FHN面B1BDD1.故MFH.【答案】MFH三、解答题11如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设M在线段AB上，且满足AM
7、2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.【解析】(1)证明：AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE, 则AEBC.又BF平面ACE，AEBF，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.(2)在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点12(2013山东济南)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA
8、1C1C平面ABCD.(1)证明：BDAA1；(2)证明：平面AB1C平面DA1C1；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由【解析】(1)证明：连接BD，平面ABCD为菱形，BDAC，由于平面AA1C1C平面ABCD，则BD平面AA1C1C，又A1A平面AA1C1C，故BDAA1.(2)证明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知AB1DC1，A1DB1C，AB1B1CB1，A1DDC1D，由面面平行的判定定理推论知：平面AB1C平面DA1C1.(3)存在这样的点P满足题意A1B1綊AB綊DC，四边形A1B1CD为平行四边形A1DB1
9、C，在C1C的延长线上取点P，使C1CCP，连接BP，B1B綊CC1，BB1綊CP，四边形BB1CP为平行四边形，BPB1C，BPA1D，BP平面DA1C1.13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EHA1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.(1)证明：AD平面EFGH；(2)设AB2AA12a.在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EFa时，求p的最小值【解析】(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADA1D1.又EHA1D1，ADEH.AD平面EFGH，EH平面EFGH.AD平面EFGH.(2)设BCb，则长方体ABCDA1B1C1D1的体积VABADAA12a2b，几何体EB1FHC1G的体积V1B1C1EB1B1F.EBB1F2a2，EB1B1F，当且仅当EB1B1Fa时等号成立从而V1.故p11，当且仅当EB1B1Fa时等号成立p的最小值等于.