1、2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷十五2020.12.8一填空题：1.行列式 2112的值为2.计算2lim1nnn3.若圆锥的侧面面积为 2，底面面积为，则该圆锥的母线长为4若圆锥的侧面面积为 2，底面面积为，则该圆锥的体积为5已知幂函数xxf)(的图像过点)22,2(，则)(xf的定义域为6已知角,2，且2tan，则)sin(7若2131)(xxxf，则满足0)(xf的 x 的取值范围是_8某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 32 和 53 现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为_9设等差数列
2、na的各项都是正数，前 n 项和为nS，公差为 d 若数列nS也是公差为 d 的等差数列，则na的通项公式为na_10、设奇函数 f x()的定义域为 R，当 x0时，mf xxx2()1（这里m 为正常数）若 f xm()2对一切0 x 成立，则m 的取值范围为11、如图，已知O 为矩形 P P P P1234 内的一点，满足OP14，OP35，P P137，则42 OPOP 的值为12、将实数 xy z，中的最小值记为min xy z，在锐角 POQ 中，60POQo，1PQ，点T 在 POQ 的边上或内部运动，且TOmin TP TO TQ，由T 所组成的图形为 M.设 POQ、M 的面
3、积为POQS、MS，若:()1:2MPOQMSSS，则MS二选择题：13已知Rx，则“0 x”是“3x”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件14已知向量 a和b的夹角为 3，且2a，3b，则 22abab（）（A）10（B）7（C）4（D）115.已知正方体1111ABCDA B C D，点 P 是棱1CC 的中点，设直线 AB 为 a，直线11A D 为b，对于下列两个命题：过点 P 有且只有一条直线l 与 a、b 都相交；过点 P 有且只有一条直线l 与 a、b 都成 45角，以下判断正确的是（）A.为真命题，为真命题B.为真命题，为假命题
4、C.为假命题，为真命题D.为假命题，为假命题16.某港口某天 0 时至 24 时的水深 y（米）随时间 x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin()3.24(06)yx，若该港口在该天 0 时至 24 时内，有且只有 3 个时刻水深为 3 米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A.16 时B.17 时C.18 时D.19 时三解答题：17、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 题满分 6 分，第 2 题满分 8 分如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为矩形，PA 底面 ABCD，AD3，PAAB4，点 E 在侧棱 PA上，且 AE1，F 为侧棱 PC 的中点
5、（1）求三棱锥 EABD的体积；（2）求异面直线CE 与 DF 所成角的大小18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知 ABC的三个内角CBA,所对应的边分别为cba,，复数i1baz，BAzcosicos2（其中i 是虚数单位），且i321 zz（1）求证：cAbBa coscos，并求边长c 的值；（2）判断 ABC的形状，并求当3b 时，角 A 的大小19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，已知椭圆C：12222 byax（0 ba）过点23,1，两个焦点为)0,1(1 F和)0,1(2F圆O 的方程为2
6、22ayx（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为 k（0k）的动直线l 与椭圆C 交于 A、B 两点，与圆O 交于 P、Q 两点（点 A、P 在 x 轴上方），当|2AF，|2BF，|AB 成等差数列时，求弦 PQ 的长yF1F2OABxPQ20（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知函数()|f xx xa，其中 a 为常数.（1）当1a 时，解不等式()2f x；（2）已知()g x 是以 2 为周期的偶函数，且当01x 时，有()()g xf x，若0a，且35()24g，求函数()yg x（1,2x）的反函数；
7、（3）若在0,2 上存在 n 个不同的点ix（1,2,in，3n），12nxxx，使得12231|()()|()()|()()|8nnf xf xf xf xf xf x，求实数 a 的取值范围.21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知数列 na的前 n 项和为nS，且11 a，aa 2（1）若数列 na是等差数列，且158 a，求实数 a 的值；（2）若数列 na满足)(2*2Nnaann，且101919aS，求证：数列 na是等差数列；（3）设数列 na是等比数列试探究当正实数 a 满足什么条件时，数列 na具有如下性质
8、M：对于任意的*2nnN，都存在*mN，使得数列10mnmnSaSa 写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数 a 的集合参考答案：一填空题：1、5；2、2；3、2；4、33；5、),0(；6、552；7、),1(；8、1513；9、412 n；10、,2；11、4；12、123；二选择题：13、B；14、D；15、B；16、D；三解答题：17解：（1）依题意，可知 EA 为点 E 到底面 ABCD 的距离，故所求的体积为EABDV13ABDSEA2（2）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，易得P(0 0 4)，C(4 3 0)，D(0 3 0)，E
9、(0 0 1)，故 F3(22)2，(43 1)CE ，3(22)2DF，设异面直线CE 与 DF 所成的角为，则cos CE DFCEDF3 10661066，02Q，arccos 3 10661066，因此，异面直线CE 与 DF 所成角的大小为3 10661066arccos18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1）证明：由余弦定理得bcacbAacbcaB2cos,2cos222222，则bcacbbacbcaaAbBa22coscos222222cacbcbca22222222c所以cAbBa coscos3 分由题意得(i)(cosicos
10、)3iabAB，公众号：上海 maths即3i)icoscos()cos-cos(AbBaBbAa，由复数相等的定义可得0cos-cosBbAa，且3coscosAbBa，5 分即3c6 分（2）由（1）得0cos-cosBbAa1 分由正弦定理得0cossincossinBBAA，即BA2sin2sin2 分因为),0(A、),0(B，所以BA22或 BA22，即BA 或2 BA，即BA 或2C所以ABC知等腰三角形或直角三角形4 分当BA 时，32cos2cAb，所以6A；6 分当2C时，3sin3bAc，所以3arcsin 3A 8 分19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，
11、第 2 小题满分 8 分）（1）由题意，1c，（1 分）设椭圆C 的方程为112222 ayax，将点23,1代入，1)1(49122aa，解得42 a（412 a舍去），（3 分）所以，椭圆C 的方程为13422 yx（4 分）（2）由椭圆定义，4|21 AFAF，4|21 BFBF，两式相加，得8|22BFAFAB，因为|2AF，|2BF，|AB 成等差数列，所以|2|22BFAFAB，于是8|32 BF，即38|2 BF（3 分）设),(00yxB，由,134,964)1(20202020yxyx解得315,34B，（5 分）（或 设)sin3,cos2(B，则964sin3)1cos2
12、(22，解 得32cos，35sin，所以315,34B）所以，15k，直线l 的方程为)1(15xy，即01515 yx，（6 分）圆O 的方程为422 yx，圆心O 到直线l 的距离415d，（7 分）公众号：上海 maths此时，弦 PQ 的长2742|2 dPQ（8 分）20.解：（1）解不等式12x x 当1x 时，220 xx，所以12x当1x 时，220 xx，所以1x ，综上，该不等式的解集为,24 分（每行 1 分）（2）当01x 时，g xx xa，因为 g x 是以 2 为周期的偶函数，所以3111 1()()()2222 2ggga，由35()24g，且0a，得2a ，
13、2 分所以当01x 时，(2)g xx x所以当12x时，2240,3g xgxgxxx4 分所以函数 1,2yg xx的反函数为310,3yxx6 分（3）当0a 时，在0,2 上 f xx xa，是0,2 上的增函数，所以 1223112nnnf xf xf xf xf xf xf xf xf所以 22 28fa，得2a ；2 分当4a 时，在0,2 上 f xx ax，是0,2 上的增函数，所以 1223112nnnf xf xf xf xf xf xf xf xf所以 2228fa，得6a；4 分当 04a时，f x 在0,2 上不单调，所以 12231max2nnf xf xf xf
14、 xf xf xf x2()424aaf，22 24fa，在0,2 上，maxmax(),2 42af xff.12231max28nnf xf xf xf xf xf xf x，不满足.综上，a 的取值范围为,26,.8 分当42 a时，则221 a，所以)(xf在2,0a 上单调递增，在2,2a上单调递减，于是)()()()()()(13221nnxfxfxfxfxfxf242)0()2(2)(222maxaafafxf令822a，解得4a或4a，不符合题意；当20 a时，)(xf分别在2,0a、2,a上单调递增，在,2aa上单调递减，)()()()()()(13221nnxfxfxfxf
15、xfxf422)2(242)2()2(2)()2()0()2(222aaaafafafffaf令84222 aa，解得322 a或322 a，不符合题意综上，所求实数 a 的取值范围为,26,21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）解：（1）设等差数列 na的公差为 d 由11a，815a 得1571 d，解得2d2 分则得32112daa，所以3a4 分（2）由191019Sa，得)8(192289922910110aa，解得2a，2 分由22nnaa，且11 a，22 a，得当 n 为奇数时，nnaan2211；当 n 为偶数
16、时，nnaan22224 分所以对任意*Nn，都有nan，当2n时，11 nnaa，所以数列 na是以1为首项、1为公差的等差数列 6 分其它解法，对应给分。（3）由题意1nnaa，1 分当10 a时，mSaaa123，所以对任意*Nm，都有032aSaSmm，2 分因此数列 na不具有性质 M 3 分当1a时，1na，nSn，所以对任意*Nm，都有0)1(232maSaSmm，因此数列 na不具有性质 M 4 分当21 a时，121log211)2(0)1(2aaaaaaa11121lognnnnaaSaaaan,111log 21nnannanaSaaa取021lognaa(x 表示不小于
17、 x 的最小整数)，则100nnaS，001nnSa.所以对于任意*Nm，0)(100nmnmaSaS，即对于任意*Nm，mS 都不在区间00 1,nnaa内，所以数列 na不具有性质 M 6 分当2a 时，1211011nnnnna aaSaaaa，且nnSa，即对任意的)(2*Nnn，都有01 nmnmaSaS，所以当2a 时，数列 na具有性质 M 7 分综上,使得数列 na具有性质 M 的正实数 a 的集合为),2 8 分的另解：当1a时，na单调递增，nS单调递增，且2n时，nnaS 若对任意)(2*Nnn，都存在*Nm，使得01 nmnmaSaS，即存在mS在区间),(1nn aa内观察),(32 aa，),(43 aa，发现在),(1nn aa内的mS 只能是nS 5 分证明：在1n个区间),(32 aa，),(43 aa，),(1nn aa内需要1n个mS，因为21aS，11 nnaS，所以可选择的mS 只能是nSSS,32，共1n个由nSSS32，得1nnnaSa 6 分所以只需满足1nnaS恒成立，即nnaaa11，得aan 12对任意*Nn都成立因为数列 na12单调递增，且212limnna，所以2a综上,使得数列 na具有性质 M 的正实数 a 的集合为),2 8 分
