1、专题能力训练18直线与圆锥曲线能力突破训练1.(2015江西九江高三一模)已知点P为双曲线x216-y29=1右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为PF1F2的内心,若SPMF1=SPMF2+8,则MF1F2的面积为()A.27B.10C.8D.62.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=13.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么
2、过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.22C.2D.24.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)5.(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.6.(2015山东烟台高三一模)已知椭圆C:x
3、2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.(1)求椭圆C的方程.(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得QPTP=PQTQ?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点
4、为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且ADB面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在一定点E(x0,0)(0x0b0)的上顶点为A,右顶点为B,离心率e=22,O为坐标原点,圆O:x2+y2=23与直线AB相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l:y=k(x-2)(k0)与椭圆C相交于E,F两不同点,若椭圆C上一点P满足OPl.求EPF面积的最大值及此时的k2.12.(2015福建高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,2),且离心率e=22.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两
5、点,判断点G-94,0与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.参考答案能力突破训练1.B解析:设内切圆的半径为R,a=4,b=3,c=5.SPMF1=SPMF2+8,12(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,R=2.SMF1F2=122cR=10.故选B.2.D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,由-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2).AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=
6、2,而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.故选D.3.C解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以=82-4(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2(2)2-12=2.4.C解析:由
7、题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK中,由|NB|AM|=|BK|AK|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,则cosNBK=|NB|BK|=tx=12,NBK=60,则GFK=60,即直线AB的倾斜角为60.斜率k=tan 60=3,故直线方程为y=3(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-3(x-1),故选C
8、.5.32解析:双曲线的渐近线为y=bax.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.F0,p2为OAB的垂心,kAFkOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.6.解:(1)由题意知c=1,又bc=tan 60=3,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k0),代入x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段P
9、Q的中点为R(x0,y0),则x0=x1+x22=4k23+4k2,y0=k(x0-1)=-3k3+4k2.由QPTP=PQTQ,得PQ(TQ+TP)=PQ(2TR)=0,所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+3k3+4k2=-1kx-4k23+4k2.令y=0得点T的横坐标t=k23+4k2=13k2+4.因为k2(0,+),所以3k2+4(4,+),所以t0,14.所以线段OF上存在点T(t,0),使得QPTP=PQTQ,其中t0,14.7.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y
10、1x2-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(3,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33或x=0,y=3.因此|AB|=463.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-533nb0),由已知可得122ab=ab=2.F(1,0)为椭圆右焦点,a2=b2+1.由可得a=2,b=1,故椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)过点E取两条分
11、别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,则1|EM1|2+1|EN1|2=1|EM2|2+1|EN2|2,即21-x022=1(x0+2)2+1(x0-2)2,解得x0=63,E若存在必为63,0,定值为3.证明如下:设过点E63,0的直线方程为x=ty+63,代入C中得(t2+2)y2+263ty-43=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-263tt2+2=-26t3(t2+2),y1y2=-43(t2+2),1|EM|2+1|EN|2=1(1+t2)y12+1(1+t2)y22=11+t21y12+1y22=11+t2(y1+y2)2-2y1y2y12y22=11+
12、t2-26t3(t2+2)2+83(t2+2)-43(t2+2)2=3.综上得定点为E63,0,定值为3.9.解:(1)因为直线l与圆O相切,所以圆x2+y2=23的圆心到直线l的距离d=|m|1+k2=23,从而m2=23(1+k2).由x22+y2=1,y=kx+m,整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,所以OEOF=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)2m2-21+2k2+-4k2m21
13、+2k2+m2=3m2-2k2-21+2k2=2(1+k2)-2k2-21+2k2=0.所以OEOF.(2)因为直线l与圆O相切于W,x122+y12=1,x222+y22=1,所以=|EW|FW|=|OE|2-r2|OF|2-r2=x12+y12-23x22+y22-23=x122+13x222+13.由(1)知x1x2+y1y2=0,所以x1x2=-y1y2,即x12x22=y12y22,从而x12x22=1-x1221-x222,即x22=4-2x122+3x12,所以=x122+13x222+13=2+3x124.因为-2x12,所以12,2.思维提升训练10.解:(1)设A(x0,0
14、),B(0,y0),P(x,y),由BP=2PA得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),即x=2(x0-x),y-y0=-2yx0=32x,y0=3y.因为x02+y02=9,所以32x2+(3y)2=9,化简,得x24+y2=1,所以点P的轨迹方程为x24+y2=1.(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,OMON=(2,0)(-2,0)=-4,当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立x24+y2=1,x=ty+1并化简,得(t2+4)y2+2ty-3=0,由根与系数的关系得y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4,OMON
15、=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)-3t2+4+t-2tt2+4+1=-4t2+1t2+4=-4(t2+4)+17t2+4=-4+17t2+4.又由=4t2+12(t2+4)=16t2+480恒成立,所以tR,对于上式,当t=0时,(OMON)max=14.综上所述,OMON的最大值为14.11.解:(1)由题意,直线AB的方程为xa+yb=1,即为bx+ay-ab=0.因为圆O与直线AB相切,所以|ab|b2+a2=23,a2b2b2+a2=23.设椭圆的半焦距为c,因为b2+c2=a2,e=ca=22,所以
16、a2-b2a2=12.由得a2=2,b2=1.所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)由x22+y2=1,y=k(x-2),整理,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,所以|EF|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k28-16k2(1+2k2)2.又点O到直线EF的距离d=|2k|1+k2,因为OPl,所以SEPF=SEOF=12|EF|d=22k2(1-2k2)(1+2k2)2.又=8-16k20,所以k212.因为k0,所以0k20,所以|GH|AB|2.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.方法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x1+94,y1,GB=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而GAGB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以cos0.又GA,GB不共线,所以AGB为锐角.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.
