1、咸阳市高新中学2021届2020-2021学年第一学期第三次质量检测（理科数学） 时间:120分钟，满分:150分 2020年11月4日14:30-16:30一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1 设集合A=x|1x2，xN，集合B=2，3，则AB等于（）A2B1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，2，32 若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D33 设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A13B35C49D634. 若向量相互垂直，则的最小值为（ ） A6
2、B2 C3 D125 设F1，F2分别是椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F2=30，则椭圆C的离心率为（）ABCD6 已知曲线，则下列说法正确的是（）A把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C27 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为
3、矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈8 曲线f（x）=x3（x0）上一动点P（x0，f（x0）处的切线斜率的最小值为（）AB3C2D69 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的直径为（）A13BCD10 设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围m，n恰好是函数y=2sinx（0）的一个单调递增区间，则的值为（）ABCD11 已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平
4、行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（，）D（1，）12 对于函数f（x）和g（x），设xR|f（x）=0，xR|g（x）=0，若存在、，使得|1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”若函数f（x）=ex1+x2与g（x）=x2axa+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）ABC2，3D2，4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线与轴围成的平面图形面积为_.14 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲
5、、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 15 设l，m是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是 若lm，m，则l或 l 若l，则l或 l若l，m，则lm或 l与m相交 若l，则l或 l16 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A
6、的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值18设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式； (2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.19（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90，EB平面ABCD，EFAB，AB=2，EB=，且M是BD的中点（1）求证：EM平面ADF；（2）求二面角AFDB的余弦值的大小20（12分）已知抛物线E：y2=2px（p0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x5）2+y2=9的两条切线，切点为（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于
7、A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值21（14分）已知函数，记F（x）=f（x）g（x）（1）求证：F（x）在区间（1，+）内有且仅有一个实根；（2）用mina，b表示a，b中的最小值，设函数m（x）=minf（x），g（x），若方程m（x）=c在区间（1，+）内有两个不相等的实根x1，x2（x1x2），记F（x）在（1，+）内的实根为x0求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，的参数方程为（t为参数）.
8、在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为.（）求曲线C的直角坐标方程；（）设曲线C与交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.23. (本小题满分10分) 选修45：不等式选讲 已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值 咸阳市高新中学2021届2020-2021学年第一学期第三次质量检测（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设集合A=x|1x2，xN
9、，集合B=2，3，则AB等于（）A2B1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，2，3解析解：A=x|1x2，xN=0，1，2，集合B=2，3，AB=0，1，2，3，故选：D2 若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D3解析解：向量=（1，1），=（2，5），x=4故选C3 设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A13B35C49D63解析解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以 故选C4.若向量相互垂直，则的最小值为 A6 B2 C3 D12解析、【答案】A 【解析】因为，所以，即，所以。则，当且
10、仅当取等号，所以最小值为6，选A.5 设F1，F2分别是椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F2=30，则椭圆C的离心率为（）ABCD解析解：线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（c，0），c+x=0，x=c；P与F2的横坐标相等，PF2x轴，PF1F2=30，PF2=，PF1+PF2=2a，PF2=，tanPF1F2=，=，e=故选：A6 已知曲线，则下列说法正确的是（）A把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C把C1向右平
11、移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2解析解：根据曲线=sin（x），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x） 的图象，故选：B7 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈解析解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角
12、形三棱柱的高为2三棱柱的体积V=两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1体积V=2该刍甍的体积为：3+2=5故选：B8 曲线f（x）=x3（x0）上一动点P（x0，f（x0）处的切线斜率的最小值为（）AB3C2D6解析解：f（x）=x3（x0）的导数f（x）=3x2+，在该曲线上点（x0，f（x0）处切线斜率 k=3x02+，由函数的定义域知 x00，k2=2，当且仅当3x02=，即x02= 时，等号成立k的最小值为2故选：C9 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的直径为（）A13BCD解析解
13、：因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，ABAC，所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1B1，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R=13故选：A10 设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围m，n恰好是函数y=2sinx（0）的一个单调递增区间，则的值为（）ABCD解析解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得A（1，2），则DA的斜率kDA=2，由，解得B（1，2），则DB的斜率kDB=2，则2z2，目标函数的取值范围2，
14、2恰好是函数y=2sinx（0）的一个单调递增区间，可得2=，解得=，故选：C11 已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（，）D（1，）解析解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（xc），与y=x联立，可得交点M（，），点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|OF2|，即有+c2，3，即b23a2，c2a23a2，即c2a则e=2双曲线离心率的取值范围是（2，+）故选A1
15、2 对于函数f（x）和g（x），设xR|f（x）=0，xR|g（x）=0，若存在、，使得|1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”若函数f（x）=ex1+x2与g（x）=x2axa+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）ABC2，3D2，4解析解：函数f（x）=ex1+x2的零点为x=1设g（x）=x2axa+3的零点为，若函数f（x）=ex1+x2与g（x）=x2axa+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1|1，02，如图由于g（x）=x2axa+3必过点A（1，4），故要使其零点在区间0，2上，则g（0）g（2）0或，解得2a3，故选C二、填空题（每题5分，满分
16、20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线与轴围成的平面图形面积为_.解析 214 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙解析解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故答案为：丙15 设l，m是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是若lm，m，则l或 l 若l，则l或 l若l，m，则lm或 l与m相交 若l，则l
17、或 l解析解：若lm，m，则l或 l，故错；由面面垂直的性质定理知，若l，则l或 l，故对；若l，m，则lm或 l与m相交，或l与m异面，故错；若l，则l或 l或l或l，或l与相交故错故答案为：16 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e1）解析解：设切点坐标为（m，em）该图象在点P处的切线l的方程为yem=em（xm）令x=0，解得y=（1m）em过点P作l的垂线的切线方程为yem=em（xm）令x=0，解得y=em+mem线段MN的中
18、点的纵坐标为t=（2m）em+memt=em+（2m）em+emmem，令t=0解得：m=1当m（0，1）时，t0，当m（1，+）时，t0当m=1时t取最大值（e+e1）故答案为：（e+e1）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值解析解：（I）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC0C，sinC0，cosA=1即cosA=A=（II）a=2，A=余弦定理：a2=b2+c22bc
19、cosA 可得：b2+c2=4+bc4+bc2bc，当且仅当b=c时取等号 解得：bc2（2+）那么三角形面积S=bcsinA=18设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式； (2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n1时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n1时，bn31nlog33n1(n1)31n. 所以T1b1；当n1时，Tnb1b2b3bn(131232(n1)31n)，所以3Tn1(1
20、30231(n1)32n)，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，19（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90，EB平面ABCD，EFAB，AB=2，EB=，且M是BD的中点（1）求证：EM平面ADF；（2）求二面角AFDB的余弦值的大小解析（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，又，MNEF且MN=EF四边形MNFE为平行四边形，则EMFN，又FN平面ADF，EM平面ADF，故EM平面ADF法二、EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B
21、xyzAB=2，EB=，B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），设平面ADF的一个法向量是由，令y=3，得又，又EM平面ADF，故EM平面ADF（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是，设平面BFD的一个法向量是，由，令z=1，得，cos=，又二面角AFDB为锐角，故二面角AFDB的余弦值大小为20（12分）已知抛物线E：y2=2px（p0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x5）2+y2=9的两条切线，切点为（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作A
22、B的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值解析解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p0），则设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，于是，所以CMR=30，MCR=60，所以|CK|=6，所以p=2故抛物线E的方程为y2=4x（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立得y24my8=0，则y1+y2=4m，y1y2=8设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，则四边形AGBD的面积=令，则是关于的增函数，故Smin=48，当且仅当m=1时取得最小值4821（12分）已知函数，记F（x）=f（x）g（x）（1）求
23、证：F（x）在区间（1，+）内有且仅有一个实根；（2）用mina，b表示a，b中的最小值，设函数m（x）=minf（x），g（x），若方程m（x）=c在区间（1，+）内有两个不相等的实根x1，x2（x1x2），记F（x）在（1，+）内的实根为x0求证：解析证明：（1），定义域为x（0，+），当x1时，F（x）0，F（x）在（1，+）上单调递增，又，而F（x）在（1，+）上连续，根据零点存在定理可得：F（x）在区间（1，+）有且仅有一个实根（2）当0x1时，f（x）=xlnx0，而，故此时有f（x）g（x），由（1）知，F（x）在（1，+）上单调递增，有x0为F（x）在（1，+）内的实根，所以F
24、（x0）=f（x0）g（x0）=0，故当1xx0时，F（x）0，即f（x）g（x）；当xx0时，F（x）0，即f（x）g（x）因而，当1xx0时，m（x）=xlnx，m（x）=1+lnx0，因而m（x）在（1，x0）上递增；当xx0时，因而m（x）在（x0，+）上递减；若方程m（x）=c在（1，+）有两不等实根x1，x2，则满足x1（1，x0），x2（x0，+）要证：，即证：x1+x22x0，即证：x22x0x1x0，而m（x）在（x0，+）上递减，即证：m（x2）m（2x0x1），又因为m（x1）=m（x2），即证：m（x1）m（2x0x1），即证：记，由F（x0）=0得：，h（x0）=0，
25、则，当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0故，所以当x0时，2x0x0，因此，即h（x）在递增从而当1x1x0时，h（x）h（x0）=0，即，故得证请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为.（）求曲线C的直角坐标方程；（）设曲线C与交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.23. (本小题满分10分) 选修45：不等式选讲 已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值【解析】(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(a2b2c2)(491)(23c1)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.