1、题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.(2015北京高考)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2.(2015河北石家庄二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点1,32,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,-32,求直线l的方程.3.(2015浙江重点中学协
2、作体测试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,且经过点P1,32.过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1l2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.4.已知抛物线C:y2=2px(p0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为27.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设PF=1FD,PG=2GD,试问1+2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知椭圆C:x2a2+
3、y2b2=1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足OS+OT=tOP(O为坐标原点),求实数t的取值范围.6.(2015湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(ab0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.若|AC|=|BD|,求直线l的斜
4、率;设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.答案：1.解:(1)椭圆C的标准方程为x23+y2=1.所以a=3,b=1,c=2.所以椭圆C的离心率e=ca=63.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直线BM的斜率kBM=2-y1+y13-1=1.(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1.又因为直线DE的斜率kDE=1-02-1=1,所以BMDE.当直线AB的斜率存在时,
5、设其方程为y=k(x-1)(k1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=y1-1x1-2(x-2).令x=3,得点M3,y1+x1-3x1-2.由x2+3y2=3,y=k(x-1)得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=6k21+3k2,x1x2=3k2-31+3k2,直线BM的斜率kBM=y1+x1-3x1-2-y23-x2.因为kBM-1=k(x1-1)+x1-3-k(x2-1)(x1-2)-(3-x2)(x1-2)(3-x2)(x1-2)=(k-1)-x1x2+2(x1+x2)-3(3-x2)(x1-2)=(k-1)-3k2+31+3k
6、2+12k21+3k2-3(3-x2)(x1-2)=0.所以kBM=1=kDE,所以BMDE.综上可知,直线BM与直线DE平行.2.解:(1)由题意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.故椭圆C的方程是x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.04k2+1t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2t1+4k2,y1y2=(kx
7、1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2.因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OAOB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0,所以5t2=4+4k2.因为0,所以4k2+1t2,解得t32.又设A,B的中点为D(m,n),则m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2.因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=-1k=-32-n-m,得t1+4k2=12.由t1+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2
8、=-35.当t=-35时,0不成立.当t=1时,k=12,所以直线l的方程为y=12x+1或y=-12x+1.3.解:(1)由ca=12,则a=2c,a2=4c2,b2=3c2,将点P的坐标代入椭圆方程得c2=1,故所求椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积为S=6,若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-1k.直线l1的方程为y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x+1),x24+y23=1,消去y整理,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.x1+x
9、2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,|x1-x2|=12k2+14k2+3,|AB|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.注意到方程的结构特征,或图形的对称性,可以用-1k代替中的k,得|CD|=12(k2+1)3k2+4,S=12|AB|CD|=72(1+k2)2(4k2+3)(3k2+4).令k2=t(0,+),S=72(1+t)2(4t+3)(3t+4)=6(12t2+25t+12)-6t12t2+25t+12=6-612t+12t+256-649=28849(当且仅当t=1时等号成立),S28849,6.综上可知,四边形ABCD的面积S28849,
10、6.4.解:(1)由已知:直线m的方程为y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为32p,p,由已知(7)2+32p2=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k0),则D-2k,0,联立y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0.由0得k0,k212.设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2.由OS+OT=tOP,当t=0时,直线l为x轴,点P在椭圆上适合题意;当t0时,得tx0=x1+x2=8k21+2k2,ty0=y1+y2=k(x1+x2-4)=-4k1+2k2,x0=1t8k21+2k2,y0=1t-4k1+2k2.将上式代入椭圆方程,得32k4t2(1+2k2)2+16k2t2(1+2k2)2=1,整理,得t2=16k21+2k2.由k212知,0t20,因此AFM是锐角,从而MFD=180-AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.7