1、第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn1在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误试一试1(2013江西高考)等比数列x,3x3
2、,6x6，的第四项等于()A24B0C12 D24解析：选A由等比数列的前三项为x,3x3,6x6，可得(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(此时3x30，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x3，公比q2，所以第四项为(6x6)q24.2(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析：由题知解得故Sn2n12.答案：22n121等比数列的三种判定方法(1)定义：q(q是不为零的常数，nN)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1(c、q均是不为零的常数，nN)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN)an
3、是等比数列2等比数列的常见性质(1)若mnpq2k(m，n，p，q，kN)，则amanapaqa；(2)若数列an、bn(项数相同)是等比数列，则an、a、anbn、(0)仍然是等比数列；(3)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk；(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为1时，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定构成等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an
4、，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论练一练1(2014济南调研)已知等比数列an满足a12，a3a54a，则a3的值为()A. B1C2 D.解析：选Ban为等比数列，设公比为q，由a3a54a可得：a4a，即q4.q2，a3a1q21.2已知数列an是公比q1的等比数列，则在anan1，an1an，nan这四个数列中，是等比数列的有(
5、)A1个 B2个C3个 D4个答案：C考点一等比数列的基本运算1.(2013承德一模)在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为()A1BC1或 D1或解析：选C根据已知条件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.2(2013全国卷)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an解析：选D由等比数列前n项和公式Sn，代入数据可得Sn32an.3设等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，已知a32，S45S2，求an的通项公式解：由题设知a10，Sn，所以由式得1q45(1q2)，即(q2)(q2)(q1)(
6、q1)0.因为q0，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080.S40150.选A.5(2013莱芜模拟)已知数列an，bn满足a1b13，an1an3，nN，若数列cn满足cnban，则c2 013()A92 012 B272 012C92 013 D272 013解析：选D由已知条件知an是首项为3，公差为3的等差数列，数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，an3n，bn3n，又cnban33n，c2 013332 013272 013.故选D.6等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，且对任意的nN都有an2an12an0，则S5_.解析：由an
7、2an12an0，得anq2anq2an0，显然an0，所以q2q20.又q1，解得q2.又a11，所以S511.答案：117(2013新课标全国卷)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.解析：当n1时，由已知Snan，得a1a1，即a11；当n2时，由已知得到Sn1an1，所以anSnSn1anan1, 所以an2an1，所以数列an为以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an(2)n1.答案：(2)n18数列an满足a12且对任意的m，nN，都有an，则a3_；an的前n项和Sn_.解析：an，anmanam，a3a12a1a2a1a1a1238；令m1，则有an1ana
8、12an，数列an是首项为a12，公比q2的等比数列，Sn2n12.答案：82n129已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nN)，且b12，求数列bn的通项公式解：(1)证明：依题意Sn4an3(nN)，n1时，a14a13，解得a11.因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首项为1，公比为的等比数列(2)因为ann1，由bn1anbn(nN)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n1
9、1(n2)，当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn3n11.10(2013东北三校联考)已知等比数列an的所有项均为正数，首项a11，且a4,3a3，a5成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列an1an的前n项和为Sn，若Sn2n1(nN)，求实数的值解：(1)设数列an的公比为q，由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，6q2q3q4，解得q3或q2，q0，q2.数列an的通项公式为an2n1(nN)(2)记bnan1an，则bn2n2n1(2)2n1，若2，则bn0，Sn0，不符合条件；若2，则2，数列bn为首项为2，公比为2的等比数列，此时Sn(12n)(2)(2n1)，Sn2n1(nN)，1.第组：重点选做题1等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sn15，则项数n为()A12 B14C15 D16解析：选Dq42，由a1a2a3a41，得a11，a1q1，又Sn15，即15，qn16，又q42，n16.故选D.2设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析：由条件得：f(n)f(1)f(n1)，即an1an，所以数列an是首项与公比均为的等比数列，求和得Sn1n，所以Sn1.答案：