1、2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一选择题12小题1曲线y=x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=3x1By=3x+5Cy=3x+5Dy=2x2某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=2t35t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是（）A14B4C10D63求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）ABCD4函数f（x）=（0x10）（）A在（0，10）上是增函数B在（0，10）上是减函数C在（0，e）上是增函数，在（e，10）上是减函数D在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数5已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相
2、切，则a的值为（）A1B2C1D26从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）ABCD7已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A1a2B3a6Ca3或a6Da1或a28函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间（，）内单调递减，则a的取值范围为（）Aa1Ba1Ca1D1a09函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）10设函数f（x）在R上可
3、导，其导函数f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）ABCD11若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx；f（x）=x+1，g（x）=x1；f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间1，1上的正交函数的组数是（）A0B1C2D312设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1
4、，+）二填空题4小题13若dx=6，则b=14要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1：2，则它的高为时，可使表面积最小15设函数f（x）=x3x22x+5，若对于任意x1，2都有f（x）m成立，求实数m的取值范围16若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是三解答题5小题17（1）（x+1）dx（2）（+x2）dx18已知函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1（1）求a、b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间19设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）
5、的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积20已知函数f（x）=+lnx（x0）（1）当a=1时，求f（x）在，2上的最小值；（2）若函数f（x）在，+）上为增函数，求正实数a的取值范围；（3）若关于x的方程1x+2xlnx2mx=0在区间，e内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围21设f（x）=axln（1+x2），（1）当a=时，求f（x）在（0，+）的极值；（2）证明：当x0时，ln（1+x2）x；（3）证明：（nN*，n2，e为自然对数的底数）2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题12小题1曲线y
6、=x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=3x1By=3x+5Cy=3x+5Dy=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可【解答】解：y=x3+3x2y=3x2+6x，y|x=1=（3x2+6x）|x=1=3，曲线y=x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y2=3（x1），即y=3x1，故选A2某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=2t35t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是（）A14B4C10D6【考点】导数的运算【分析】利用导数在物理上的意义，位移的导数是速度
7、；【解答】解：汽车的速度为v（t）=s（t）=6t210t，a=v（t）=12t10a=v（2）=2410=14故选：A3求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）ABCD【考点】定积分的简单应用【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解【解答】解：如图所示S=SABOS曲边梯形ABO，故选：B4函数f（x）=（0x10）（）A在（0，10）上是增函数B在（0，10）上是减函数C在（0，e）上是增函数，在（e，10）上是减函数D在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可解决【解答】解：f（x
8、）=（10x0），f（x）=令f（x）=0，即=0，得x=e，当f（x）0，即xe，此时f（x）为增函数，又x0，增区间为（0，e），当f（x）0，即10xe，此时f（x）为减函数，减区间为（e，10）故选：C5已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D2【考点】导数的几何意义【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又x0+a=1y0=0，x0=1a=2故选项为B6从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取
9、自阴影部分的概率为（）ABCD【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）=所以P（A）=故选：B7已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A1a2B3a6Ca3或a6Da1或a2【考点】利用导数研究函数的极值【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+
10、1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f（x）=3x2+2ax+（a+6）若f（x）有极大值和极小值，则=4a212（a+6）0，从而有a6或a3，故选C8函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间（，）内单调递减，则a的取值范围为（）Aa1Ba1Ca1D1a0【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由g（x）=3ax2+4（1a）x3a，g（x）在（，）递减，则g（x）在（，）上小于等于0，讨论（1）a=0时，（2）a0，（3）a0时的情况，从而求出a的范围【解答】解：g（x）=3ax
11、2+4（1a）x3a，g（x）在（，）递减，则g（x）在（，）上小于等于0，即：3ax2+4（1a）x3a0，（1）a=0时，g（x）0，解得：x0，即g（x）的减区间是（，0），0，才能g（x）在（，）递减，解得a=0 成立（2）a0，g（x）是一个开口向上的抛物线，要使g（x）在（，）上小于等于0 解得：a无解； （3）a0，g（x）是一个开口向下的抛物线，设g（x）与x轴的左右两交点为A（x1，0），B（x2，0）由韦达定理，知x1+x2=，x1x2=1，解得：x1=，则在A左边和B右边的部分g（x）0 又知g（x）在（，）递减，即g（x）在（，）上小于等于0，x1，即：解得1a5，取交
12、集，得1a0，a的取值范围是1a0故选：D9函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意已知函数f（x）的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断f（x）的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而求解【解答】解：由函数f（x）的图象可知：当x0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）0，f（2），f（3），f（3）f（2）0，由此可知f（x）在（0，+）上恒大于0，其图象为一条
13、直线，直线的斜率逐渐减小，f（x）单调递减，f（2）f（3），f（x）为凸函数，f（3）f（2）f（2）0f（3）f（3）f（2）f（2），故选B10设函数f（x）在R上可导，其导函数f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象【分析】由题设条件知：当x2时，xf（x）0；当x=2时，xf（x）=0；当x2时，xf（x）0由此观察四个选项能够得到正确结果【解答】解：函数f（x）在R上可导，其导函数f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，当x2时，f（x）0；当x=2时，f（x）=0；当x2时，f（x）
14、0当x2时，xf（x）0；当x=2时，xf（x）=0；当x2时，xf（x）0故选A11若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx；f（x）=x+1，g（x）=x1；f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间1，1上的正交函数的组数是（）A0B1C2D3【考点】微积分基本定理【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论【解答】解：对于： sinxcosxdx=（sinx）dx=cosx=0，f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数；对于：（x+1）（x1）dx=（x21）d
15、x=（）0，f（x），g（x）不是区间1，1上的一组正交函数；对于： x3dx=（）=0，f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，正交函数有2组，故选：C12设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（
16、0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：A二填空题4小题13若dx=6，则b=e4【考点】定积分【分析】根据定积分的计算即可【解答】解：若dx=2lnx|=2lnb2lne=2lnb2=6，lnb=4，b=e4
17、，故答案为：e414要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1：2，则它的高为4cm时，可使表面积最小【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设两边分别为x cm、2xcm，高为y cm则V=2x2y=72，y=，从而S=2（2x2+2xy+xy）=4x2+由此利用导数性质能求出它的高为4cm时，可使表面积最小【解答】解：设两边分别为x cm、2xcm，高为y cmV=2x2y=72，y=，S=2（2x2+2xy+xy）=4x2+6xy=4x2+S=8x，令S=0，解得x=3y=4（cm）它的高为4cm时，可使表面积最小故答案为：4cm15设函数f（x）=x3x
18、22x+5，若对于任意x1，2都有f（x）m成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由f（x）=3x2x2，利用导数性质求出x1，2时，f（x）max=f（2）=7，由对于任意x1，2都有f（x）m成立，得mf（x）max=7，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：f（x）=x3x22x+5，f（x）=3x2x2，由f（x）=0，得x=，或x=1，f（1）=，f（）=，f（1）=，f（2）=7，x1，2时，f（x）max=f（2）=7，对于任意x1，2都有f（x）m成立，mf（x）max=7，实数m的取值范围是（7，+）16若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y
19、轴的切线，则实数a取值范围是（，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求函数f（x）=ax3+lnx的导函数f（x），再将“线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线”转化为f（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围【解答】解：f（x）=3ax2+ （x0）曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，f（x）=3ax2+=0有正解即a=有正解，a0故答案为（，0）三解答题5小题17（1）（x+1）dx（2）（+x2）dx【考点】定积分【分析】（1）根据定积分的计算法则计算即可，（2）根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算即可【解答】解：
20、1）（x+1）dx=（x2+x）|=（22+2）（+1）=（2）（）dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的二分之一，故（）dx=4=2，x2dx=x3|=（8+8）=，（+x2）dx=2+18已知函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1（1）求a、b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）已知函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，即f（1）=1，f（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；（2）分别解不等式f（x）0和f（x）0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递
21、减区间【解答】解：（1）f（x）=3x26ax+2b，函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，f（1）=1，f（1）=013a+2b=1，36a+2b=0解得a=，b=f（x）=x3x2x（2）f（x）=3x22x1由f（x）=3x22x10得x（，）或（1，+）由f（x）=3x22x10得x（，1）函数f（x）的单调增区间为：（，），（1，+），减区间为：（，1）19设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积【考点】定积分在求面积中的应用；导数的运算【分
22、析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案（2）根据定积分的定义可得答案【解答】解：（1）f（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，根据f（x）=0有两等根，得=44c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；（2）S=20已知函数f（x）=+lnx（x0）（1）当a=1时，求f（x）在，2上的最小值；（2）若函数f（x）在，+）上为增函数，求正实数a的取值范围；（3）若关于x的方程1x+2xlnx2mx=0在区间，e内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性【分析】
23、（1）当a=1时，可求得f（x）、f（x），由f（x）=0，得x=1，求出函数的极值、端点处函数值，然后进行比较即可；（2）利用导数求出f（x）的增区间，由题意可知，+）为增区间的子集，由此可得a的范围；（3）方程可变为，则问题等价于函数的图象与函数y=m的图象在区间，e内恰有两个交点利用导数研究函数g（x）的性质、极值、端点处函数值，画出草图，借助图象可得m的范围；【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=，令f（x）=0，得x=1，于是，当x1时，f（x）0，当1x2时，f（x）0，所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，又f（）=1ln2，f（2）=ln2，所以当x=1时函数f（
24、x）取得最小值0（2），因为a为正实数，由定义域知x0，所以函数的单调递增区间为，又函数f（x）在上为增函数，所以，所以a2；（3）方程1x+x2lnx2mx=0在区间，e内恰有两个相异的实数根，推得方程在区间，e内恰有两个相异的实数根，即方程在区间，e内恰有两个相异的实数根，则函数的图象与函数y=m的图象在区间，e内恰有两个交点考察函数，则g（x）在区间为减函数，在为增函数，则有：，g（）=+ln=1=0g（e），画函数，x，e的草图，要使函数的图象与函数y=m的图象在区间，e内恰有两个交点，则要满足，所以m的取值范围为m|21设f（x）=axln（1+x2），（1）当a=时，求f（x）在（
25、0，+）的极值；（2）证明：当x0时，ln（1+x2）x；（3）证明：（nN*，n2，e为自然对数的底数）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明【分析】（1）求出函数的导数，得到极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值（2）利用导函数的单调性推出不等式，得到结果即可（3）利用（2）的结论，利用放缩法以及裂项求和，推出结果即可【解答】解：（1）当，f（x），f（x）变化如下表：x2（2，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值，（2）令g（x）=xln（1+x2），则，g（x）在（0，+）上为增函数g（x）g（0）=0，ln（1+x2）x（3）由（2）知ln（1+x2）x，令得，n2，则原不等式成立2017年4月15日