1、专题能力训练8利用导数解不等式及参数范围能力突破训练1.(2015重庆南开中学月考)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x,a,bR.(1)若a0,且b=2-a,试讨论f(x)的单调性;(2)若对b-2,-1,x(1,e)使得f(x)0,b0,已知函数f(x)=ax+bx+1.(1)当ab时,讨论函数f(x)的单调性.(2)当x0时,称f(x)为a,b关于x的加权平均数.判断f(1),fba,fba是否成等比数列,并证明fbafba;a,b的几何平均数记为G,称2aba+b为a,b的调和平均数,记为H.若Hf(x)G,求x的取值范围.3.(2015湖北武汉高三检测)已知函数f(x)=ax+x
2、ln x的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)kx2对任意x0成立,求实数k的取值范围;(3)当nm1(m,nN*)时,证明:nmmnmn.4.已知函数f(x)=ln x-ax,其中aR.(1)当a=-1时,判断f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+ax在其定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(3)当a=0时,函数f(x)的图象关于y=x对称得到函数h(x)的图象,若直线y=kx与曲线y=2x+1h(x)没有公共点,求k的取值范围.5.设函数f(x)=aln x,g(x)=12x2.(1)记g(x)为g(x)的导函数,若不等式f
3、(x)+2g(x)x20,不等式mg(x1)-g(x2)x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(mZ,m1)的值.6.(2015福建高考)已知函数f(x)=ln x-(x-1)22.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).思维提升训练7.已知函数f(x)=13x3+x2+ax+1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,试讨论是否存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12.答案：能力突破训练1.解:(1)f(x)=2ax+(2-a)-1x=2ax2+(2-a)x-1x=(ax+1)(2x-1)
4、x.当-1a12,即a12,即0a-2时,f(x)的单调递增区间为12,-1a,单调递减区间为0,12,-1a,+.(2)对b-2,-1,x(1,e)使得ax2+bx-ln x0成立,即ax2-x-ln x0在区间(1,e)内有解,即alnx+xx2在(1,e)内有解,即alnx+xx2max.令g(x)=lnx+xx2,则g(x)=-x(x-1+2lnx)x4.x(1,e),g(x)0,即在区间(1,e)内g(x)单调递减.ag(1)=1.故实数a的取值范围为ab时,f(x)0,函数f(x)在(-,-1),(-1,+)上单调递增;当ab时,f(x)0,fba=2aba+b0,fba=ab0,
5、则f(1)fba=a+b22aba+b=ab=fba2,即f(1)fba=fba2,(*)所以f(1),fba,fba成等比数列.因为a+b2ab(当且仅当a=b时等号成立),即f(1)fba(当且仅当a=b时等号成立),由(*)得fbafba(当且仅当a=b时等号成立).由知fba=H,fba=G.则由Hf(x)G,得fbaf(x)fba.(*)当a=b时,fba=f(x)=fba=a.这时,x的取值范围为(0,+).当ab时,0ba1,从而baba.由f(x)在(0,+)上单调递增与(*)式,得baxba,即x的取值范围为ba,ba.当a1,从而baba.由f(x)在(0,+)上单调递减与
6、(*)式,得baxba,即x的取值范围为ba,ba.3.解:(1)f(x)=ax+xln x,f(x)=a+ln x+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,f(e)=3,即a+ln e+1=3,a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+xln x,若f(x)kx2对任意x0成立,则k1+lnxx对任意x0成立.令g(x)=1+lnxx,则问题转化为求g(x)的最大值,g(x)=1xx-(1+lnx)x2=-lnxx2.令g(x)=0,解得x=1.当0x0,g(x)在(0,1)内是增函数;当x1时,g(x)0),h(x)0,h(x)是(1,+)上的增函数.nm1,h(n)h(m),即n
7、lnnn-1mlnmm-1,mnln n-nln nmnln m-mln m,即mnln n+mln mmnln m+nln n,ln nmn+ln mmln mmn+ln nn.整理,得ln(mnn)mln(nmm)n.(mnn)m(nmm)n,nmmnmn.4.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=x-1x2,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在区间(0,1)上为减函数,在(1,+)上为增函数.(2)由g(x)=f(x)+ax=ln x-ax+ax,可知函数g(x)的定义域为(0,+),g(x)=ax2+x+ax2.g(x)在其定义域内为减函数,x(0,+),
8、g(x)0.ax2+x+a0a(x2+1)-xa-xx2+1a-xx2+1min.又xx2+1=1x+1x12,-xx2+1-12,当且仅当x=1时取等号.a-12.(3)当a=0时,f(x)=ln x,h(x)=ex.直线l:y=kx与曲线y=2x+1h(x)=2x+1ex没有公共点,等价于关于x的方程(k-2)x=1ex(*)在R上没有实数解,当k=2时,方程(*)可化为1ex=0,其在R上没有实数解.当k2时,方程(*)可化为1k-2=xex.令g(x)=xex,则有g(x)=(1+x)ex.令g(x)=0,得x=-1,当x在区间(-,+)内变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x
9、(-,-1)-1(-1,+)g(x)-0+g(x)-1e当x=-1时,g(x)min=-1e,同时当x趋于+时,g(x)趋于+,故g(x)的取值范围为-1e,+.因此当1k-2-,-1e时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围是(2-e,2).综合,可知k的取值范围是(2-e,2.5.解:(1)不等式f(x)+2g(x)(a+3)x-g(x),即aln x+2x(a+3)x-12x2,化简,得a(x-ln x)12x2-x.由x1,e知x-ln x0,因而a12x2-xx-lnx.设y=12x2-xx-lnx,则y=(x-1)(x-lnx)-1-1x12x2-x(x-lnx)2=(x-1)12
10、x+1-lnx(x-lnx)2.当x(1,e)时,x-10,12x+1-ln x0,y0在x1,e时成立.由不等式有解,可得aymin=-12,即实数a的取值范围是-12,+.(2)当a=1时,f(x)=ln x.由mg(x1)-g(x2)x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)mg(x2)-x2f(x2)恒成立,设t(x)=m2x2-xln x(x0).由题意知x1x20,则当x(0,+)时函数t(x)单调递增,t(x)=mx-ln x-10恒成立,即mlnx+1x恒成立.因此,记h(x)=lnx+1x,得h(x)=-lnxx2.函数在(0,1)上单调递增,在(1
11、,+)上单调递减,函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m1,结合已知条件mZ,m1,可得m=1.6.(1)解:f(x)=1x-x+1=-x2+x+1x,x(0,+).由f(x)0得x0,-x2+x+10,解得0x1+52.故f(x)的单调递增区间是0,1+52.(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+),则有F(x)=1-x2x.当x(1,+)时,F(x)1时,F(x)1时,f(x)1满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(
12、x-1),x(0,+),则有G(x)=1x-x+1-k=-x2+(1-k)x+1x.由G(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得x1=1-k-(1-k)2+421.当x(1,x2)时,G(x)0,故G(x)在1,x2)内单调递增.从而当x(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).思维提升训练7.解:(1)f(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为=4-4a,当a1时,0,则f(x)0,此时f(x)在R上是增函数;当a0,解得x-1+1-a,解不等式x2+2x+a0,解得-1-1-ax-1+1-a,此时,函数f(x)的单
13、调递增区间为(-,-1-1-a)和(-1+1-a,+),单调递减区间为(-1-1-a,-1+1-a).综上所述,当a1时,函数f(x)的单调递增区间为(-,+);当a1时,函数f(x)的单调递增区间为(-,-1-1-a)和(-1+1-a,+),单调递减区间为(-1-1-a,-1+1-a).(2)f(x0)-f12=13x03+x02+ax0+1-13123-122-a12-1=13x03-123+x02-122+ax0-12=13x0-12x02+x02+14+x0-12x0+12+ax0-12=x0-12x023+x06+112+x0+12+a=112x0-12(4x02+14x0+7+12
14、a).若存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12,则4x02+14x0+7+12a=0在0,1212,1内有解.a0,方程4x02+14x0+7+12a=0的两根为x1=-7-21-48a4,x2=-7+21-48a4.x00,x0=x2=-7+21-48a4,依题意,0-7+21-48a41,即721-48a11,4921-48a121,即-2512a-712,又由-7+21-48a4=12得a=-54,要使满足题意的x0存在,则a-54.综上,当a-2512,-54-54,-712时,存在唯一x00,1212,1满足f(x0)=f12,当a-,-2512-54-712,0时,不存在x00,1212,1满足f(x0)=f12.8