1、题型练9大题综合练(一)1.(2015吉林第三次调研)设ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,设S为ABC的面积,满足S=34(a2+c2-b2).(1)求B;(2)若b=3,设A=x,y=(3-1)a+2c,求函数y=f(x)的解析式和最大值.2.(2015重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.3.如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ABCD,ADC
2、D,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为EC和BD的中点.(1)求证:BC平面BDE;(2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值.4.(2015安徽高考)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.5.设函数f(x)=2ln(x+1)+x2x+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)如果对所有的x0,都有f(x)ax,求a的最
3、小值;(3)已知在数列an中,a1=1,且(1-an+1)(1+an)=1,若数列an的前n项和为Sn,求证:Snan+12an-ln an+1.参考答案1.解:(1)由已知及三角形面积公式和余弦定理得12acsin B=342accos B,tan B=3.又B(0,),B=3.(2)由(1)知B=3,ABC的内角和A+B+C=.由A0,C0得0A23.由正弦定理,知a=bsinBsin A=3sin3sin x=2sin x,c=bsinBsin C=2sin23-x,y=(3-1)a+2c=2(3-1)sin x+4sin23-x=23sin x+23cos x=26sinx+40x23
4、,当x+4=2,即x=4时,y取得最大值26.2.解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上知,X的分布列为X012P715715115故E(X)=0715+1715+2115=35(个).3.(1)证明:在梯形ABCD中,取CD的中点H,连接BH,因为AD=AB,ABCD,ADCD,所以四边形ADHB为正方形.又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2
5、+HB2=2,所以CD2=BD2+BC2,所以BCBD.又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DEAD,所以DE平面ABCD.因为BC平面ABCD,所以BCDE.又BDDE=D,故BC平面BDE.(2)解:由(1)知DE平面ABCD,ADCD,所以DE,DA,DC两两垂直.以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,2,0),B(1,1,0),E(0,0,1),M0,1,12,N12,12,0,BC=(-1,1,0),MC=0,1,-12.设n=(x,y,z)为平面BMC的法向量,则nBC=0,nMC=0,即-x+y=0,y-12z=0,可取n=(1,
6、1,2).又MN=12,-12,-12,所以cos=nMN|n|MN|=-23.直线MN与平面BMC所成的角的正弦值为23.4.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510,进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x5b+yb=1,点N的坐标为52b,-12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则线段NS的中点T的坐标为54b+x12,-14b+74.又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b
7、=5,解得b=3.所以a=35,故椭圆E的方程为x245+y29=1.5.(1)解:f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=x2+4x+2(x+1)2.当-1x-2+2时,f(x)-2+2时,f(x)0,所以函数f(x)在(-1,-2+2)内单调递减,在(-2+2,+)上单调递增.(2)解:设g(x)=2ln(x+1)+x2x+1-ax,则g(x)=x2+4x+2(x+1)2-a=(x+1)2+2(x+1)-1(x+1)2-a=-1x+1-12+2-a.因为x0,所以-1-1x+1-120.当a2时,2-a0,g(x)0,所以g(x)在0,+)上单调递减,而g(0)=0,所以对所有的x0,g
8、(x)0,即f(x)ax.当1a2时,02-a0,g(x)单调递增,而g(0)=0,所以当x0,2-a+2-aa-1时,g(x)0,即f(x)ax.当a1时,2-a1,g(x)0,所以g(x)在0,+)上单调递增,而g(0)=0,所以对所有的x0,g(x)0,即f(x)ax.综上,a的最小值为2.(3)证明:由(1-an+1)(1+an)=1,得an-an+1=anan+1,由a1=1得,an0,所以1an+1-1an=1,数列1an是以1a1=1为首项,1为公差的等差数列,所以1an=n,an=1n,an+1=1n+1.Snan+12an-ln an+1ln(n+1)+n2(n+1)0,即l
9、n(x+1)+x22(x+1)0.(方法一)令x=1n,得lnn+1n+12n(n+1)1n,即ln(n+1)-ln n+121n-1n+11n,因为k=1nln(k+1)-lnk+121k-1k+1=ln(n+1)+n2(n+1),所以ln(n+1)+n2(n+1)an+12an-ln an+1.(方法二)Snan+12an-ln an+11+12+13+1nln(n+1)+n2(n+1).下面用数学归纳法证明.当n=1时,令x=1代入ln(x+1)+x22(x+1)ln 2+14,不等式成立.假设当n=k(kN*,k1)时,不等式成立,即1+12+13+1kln(k+1)+k2(k+1),则当n=k+1时,1+12+13+1k+1k+1ln(k+1)+k2(k+1)+1k+1,令x=1k+1代入ln(x+1)+x22(x+1)lnk+2k+1+12(k+1)(k+2),ln(k+1)+k2(k+1)+1k+1ln(k+1)+k2(k+1)+lnk+2k+1+12(k+1)(k+2)=ln(k+2)+k(k+2)+12(k+1)(k+2)=ln(k+2)+k+12(k+2),即1+12+13+1k+1k+1ln(k+2)+k+12(k+2).由可知不等式1+12+13+1nln(n+1)+n2(n+1)对任何nN*都成立.故Snan+12an-ln an+1.5