1、第四章 三角函数、解三角形4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos()cos cos sin sin (C()cos()(C()sin()(S()sin()(S()coscossinsintan()(T()tan()(T()sincoscossinsincoscossintan tan 1tan tan 知识梳理 1 答案 tan tan 1tan tan 2.二倍角公式 sin 2；cos 2；tan 2.2tan 1tan22sinc
2、oscos2sin22cos2112sin2答案 3.公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()；(2)cos2，sin2；1cos 22(3)1sin 2(sin cos)2,1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.(1tantan)1cos 22答案 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.()(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都
3、成立.()(4)存在实数，使tan 22tan.()(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()答案 思考辨析 C 1化简cos 40cos 251sin 40等于()A1B.3C.2D2解析 原式cos 40cos 251cos 50cos 40cos 25 2sin 25 cos 4022 sin 50 2.考点自测 2 解析答案 123452.若sin cos sin cos 12，则 tan 2 等于()A.34B.34C.43D.43解析 由sin cos sin cos 12，等式左边分子、分母同除 cos 得，tan 1tan 112，解得tan 3，B 则 tan 2
4、 2tan 1tan234.解析答案 123453.(2015重庆)若 tan 13，tan()12，则 tan 等于()A.17B.16C.57D56解析 tan tan()tantan 1tantan 12131121317.A 解析答案 12345sin(5877)sin 135 22.4.sin 347cos 148sin 77cos 58.解析 sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58 sin 58cos 77cos 58sin 77 22解析答案 123
5、455.设 为锐角，若 cos(6)45，则 sin(2 12)的值为.解析 为锐角，cos(6)45，66，23，sin(6)35，sin(23)2sin(6)cos(6)2425，cos(23)2cos2(6)1 725，sin(2 12)sin(234)22 sin(23)cos(23)17 250.17 250解析答案 返回 12345题型分类 深度剖析 例 1(1)已知 sin 35，(2，)，则cos 22sin4_.解析 cos 22sin4cos2sin2222 sin 22 cos cos sin，sin 35，2，cos 45.原式75.75题型一 三角函数公式的基本应用
6、解析答案(2)设 sin 2sin，2，则 tan 2 的值是_.cos 12，又 2，sin 32，tan 3，tan 2 2tan 1tan2 2 31 32 3.解析 sin 22sin cos sin，3解析答案 思维升华 (1)若(2，)，tan(4)17，则 sin 等于()A.35B.45C.35D.45 解析 tan(4)tan 11tan 17，tan 34sin cos，cos 43sin.又sin2cos21，sin2 925.又(2，)，sin 35.A跟踪训练1 解析答案(2)已知 cos(x6)33，则 cos xcos(x3)的值是()A.2 33B.2 33C.
7、1 D.1 解析 cos xcos(x3)cos x12cos x 32 sin x32cos x 32 sin x 3(32 cos x12sin x)3cos(x6)1.C解析答案 例 2(1)sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110 x)的值为()A.2B.22C.12D.32 解析 原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin 45 22.故选 B.B题型二 三角函数公式的灵活应用 解析答案(2)求值：cos 15sin 15cos 15si
8、n 15_.解析 原式1tan 151tan 15tan 45tan 151tan 45tan 15tan(4515)3.解析答案 思维升华 3解析 由题意知：sin A 2cos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，又 tan(BC)tan Btan C1tan Btan C1tan A，所以 A4.A(1)在斜三角形 ABC 中，sin A 2cos Bcos C，且 tan Btan C1 2，则角 A 的值为()A.4B.3C.2D.34 在等式 2cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C 两边同除以 cos Bcos C 得 tan
9、 Btan C 2，跟踪训练2 解析答案 解析 f(x)1cos 2(4x)3cos 2x可得f(x)的最大值是3.(2)函数 f(x)2sin2(4x)3cos 2x 的最大值为()A.2 B.3C.2 3D.2 3sin 2x 3cos 2x12sin2x3 1，B 解析答案 例 3(1)设、都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或 525题型三 角的变换问题 解析答案(2)已知 cos(6)sin 45 3，则 sin(76)的值是_.解析 cos(6)sin 45 3，32 cos 32sin 45
10、 3，3(12cos 32 sin)45 3，3sin(6)45 3，sin(6)45，sin(76)sin(6)45.45解析答案 思维升华 若 02，20，cos4 13，cos42 33，则 cos2 等于()A.33B.33C.5 39D.69 跟踪训练3 解析答案 易错警示系列(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角.典例(1)已知 02，且 cos2 19，sin2 23，则 cos()的值为_.(2)已知在ABC 中，sin(AB)23，cos B34，则 cos A_.易错分析(1)角2，2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误.易错警示系列 5.三角函数求值忽
11、视角的范围致误温馨提醒 解析答案 易错分析 返回 思想方法 感悟提高 1.巧用公式变形：和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式 cos21cos 22，sin21cos 22，配方变形：1sin sin2cos22，1cos 2cos22，1cos 2sin22.方法与技巧 2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)
12、问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.方法与技巧 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角范围.失误与防范 返回 练出高分 12345678910111213141.cos 85sin 25cos 30cos 25等于()A.32B.22C.12D.1解析 原式sin 5 32 sin 25cos 25sin3025 32 sin 25cos 2512cos 25cos 25 12.C解析答案 152.若 4，2，sin 23 78，则 sin
13、等于()A.35B.45C.74D.34解析 由 sin 23 78 和 sin2cos21 得D(sin cos)23 78 1(3 74)2，又 4，2，sin cos 3 74.同理，sin cos 3 74，sin 34.解析答案 1234567891011121314A 3.若 tan 3，则sin 21cos 2等于()A.3B.3C.33D.33 解析 sin 21cos 2 2sin cos 12cos21tan 3.解析答案 1234567891011121314154.已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2 等于()A.53B.59C.59D.53 解析
14、由 sin cos 33 两边平方得 12sin cos 13，2sin cos 23.为第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos sin cos 212sin cos 153.cos 2(cos sin)(cos sin)33 153 53.A解析答案 1234567891011121314155.已知 tan()25，tan4 14，那么 tan4 等于()A.1318B.1322C.322D.16 解析 因为 44，所以 4()4，所以 tan4 tan4tantan41tantan4 322.C解析答案 1234567891011121314156.sin2501sin 10
15、_.解析 sin2501sin 101cos 10021sin 101cos901021sin 101sin 1021sin 1012.12解析答案 1234567891011121314157.已知、均为锐角，且cos()sin()，则tan _.解析 根据已知条件：cos cos sin sin sin cos cos sin，cos(cos sin)sin(cos sin)0，即(cos sin)(cos sin)0.又、为锐角，则sin cos 0，cos sin 0，tan 1.1 解析答案 1234567891011121314158函数 f(x)sin(2x4)2 2sin2x
16、的最小正周期是_解析 f(x)22 sin 2x 22 cos 2x 2(1cos 2x)22 sin 2x 22 cos 2x 2sin(2x4)2，最小正周期 T22.解析答案 12345678910111213141512345678910111213149已知 cos6 cos3 14，3，2.(1)求 sin 2 的值；解析答案 151234567891011121314(2)求 tan 1tan 的值解析答案 解 3，2，223，又由(1)知 sin 212，cos 2 32.tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 22
17、 32122 3.15123456789101112131410.已知 2，且 sin 2cos 2 62.(1)求cos 的值；解 因为 sin 2cos 2 62，两边同时平方，得 sin 12.又2，所以 cos 32.解析答案 151234567891011121314(2)若 sin()35，2，求 cos 的值.解 因为2，2，所以2，故22.又 sin()35，得 cos()45.cos cos()cos cos()sin sin()32 451235 4 3310.解析答案 15123456789101112131411.已知 tan(4)12，且20，则2sin2sin 2c
18、os4等于()A.2 55B.3 510C.3 1010D.2 55解析 由 tan(4)tan 11tan 12，得 tan 13.又20，所以 sin 1010.A故2sin2sin 2cos42sin sin cos 22 sin cos 2 2sin 2 55.解析答案 151234567891011121314解析 0，2，且 sin2cos 214，D 12.若 0，2，且 sin2cos 214，则 tan 的值等于()A.22B.33C.2D.3sin2cos2sin214，cos214，cos 12或12(舍去)，3，tan 3.解析答案 151234567891011121
19、31413.已知 cos4sin423，且 0，2，则 cos23 _.解析 cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 223，又 0，2，2(0，)，sin 21cos22 53，cos23 12cos 2 32 sin 21223 32 53 2 156.2 156解析答案 15123456789101112131414.设 f(x)1cos 2x2sin2xsin xa2sinx4 的最大值为 23，则常数 a_.解析 f(x)12cos2x12cos xsin xa2sinx4cos xsin xa2sinx4 2sinx4 a2sinx4(2a2)sinx4.依题意有 2a2 23，a 3.3解析答案 1515已知函数 f(x)12sinx8 sinx8 cosx8.1234567891011121314(1)求函数f(x)的最小正周期；解析答案 15(2)当 x2，12，求函数 fx8 的值域返回 1234567891011121314解 由(1)可知 fx8 2cos2x4.由于 x2，12，所以 2x434，512，所以 cos2x4 22，1，则 fx8 1，2，所以 fx8 的值域为1，2解析答案 15