1、湖南省湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一数学下学期入学自主检测试题时量：20分钟 满分：50分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.设，则，的大小关系是（ ）A.B.C.D.3.函数的零点个数为（ ）A.0B.1C.2D.34.已知函数，且，则的值为（ ）A.B.1C.3D.5.关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）A.甲B.乙C.丙D.丁6.若实数，满足，则的最小值为（
2、 ）A.B.2C.D.47.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.已知函数的定义域为，则“无最大值”的一个充分条件是（ ）A.为偶函数且关于直线对称B.为偶函数且关于点对称C.为奇函数且关于直线对称D.为奇函数且关于点对称二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，且.则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.10.下列几个说法中，正确的是（ ）A.已知函数的定义域是，则的定义域是B.命题“，”的否定为：“，”C若函数有两个零点，则实数的取值范围是D.若函
3、数在区间上的最大值与最小值分别为和，则11.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）A.函数为奇函数B.函数在上单调递增C.若，则的最小值为D.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象12.已知，.则的值可能是（ ）A.B.C.1D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则 .1.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则时， .15.已知函数，在区间上单调递减，则 .16.设函数若，使得成立，则实数的取值范围是 ；若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是 .四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数.（1）
4、求使的最小值；（2）若对任意，有意义，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的最大值及取得最大值时的值；（2）若方程在上的解为，而，求的值.19.（本小题满分12分）设，是上的偶函数.（1）求的值；（2）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论.20.（本小题满分12分）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废气中含有污染物数量为，第次改良后所排放的废气中的污染物数量可由函数模型
5、给出，其中是指改良工艺的次数.（1）试求改良后的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取）21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2.（i）求函数的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得.22.（本小题满分12分）已知，.（1）若，且，求的取值范围；（2）若，且方程在上有两个解，求的取值范围，并证明.湖南师大附中2020-2021学年度高一
6、第二学期入学自主检测数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CDBDACDD3.B【解析】由，得，在平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，可知其交点只有一个，所以的零点只有一个.4.D【解析】因为，所以.5.A【解析】若甲、乙都为真命题，则丙、丁都为假命题，与四个命题中“只有一个假命题”矛盾，故甲、乙中必有一个假命题.若甲、丙都为真命题，则乙、丁都为假命题，也与四个命题中“只有一个假命题”矛盾，从而甲、丙中必有一个假命题.由此可知，甲是假命题.6.C【解析】由得：，即，当且仅当，即时等号成立.7
7、.D【解析】因为时，是减函数，则，即.8.D【解析】对于A，由为偶函数且关于直线对称，但有最大值知其不正确；对于B、C，可分别由反例，知其不正确；对于D，由为奇函数且关于点对称知，由此可得，所以没有最大值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ABACDACBCD12.BCD【解析】已知，.，（1）当时，（当且仅当时，等号成立）.（2）当时，（当且仅当时，等号成立）.综上可知，的可取值范围是，故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.【
8、解析】当时，因为是奇函数，所以.所以.15. 2【解析】在上单调递减，且，又由，得，.16.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）即，所以，即，所以的最小值为7.（2）方法一：对任意，有意义在区间上，恒成立恒成立.设，递增，所以当时，于是当且仅当时，在上有意义，故.所以的取值范围是.方法二：对任意，有意义在区间上，恒成立恒成立恒成立，设，则，因为，故当时取得最大值，所以，即的取值范围是.18.【解析】（1）.当，即时，函数取最大值，且最大值为1.（2）由（1）知，函数图象的对称轴为，当时，对称轴为或.又方程在上的解为，.结合图象知点与
9、点关于对称.，则，又，故.19.【解析】（1）因为是上的偶函数，所以，即，亦即，又不可能恒为“0”，所以，而，故.（2）在上是增函数.证明如下：在上任取，.因为，所以由得，从而，所以，即，所以在上是增函数.20.【解析】（1）由题意得，所以当时，即，解得，所以，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型.（2）由题意可得，整理得，即，两边同时取常用对数，得，整理得，取代入，得，又因为，所以.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.21.【解析】（1）因为.所以函数的最小正周期.（2）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移个单位长度后得到的图象.又已知函数的最大值为2，所以，解得.所以.（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即.由知，存在，使得.由正弦函数的性质可知，当时，均有.因为的周期为，所以当时，均有.因为对任意的整数，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得.即存在无穷多个互不相同的正整数，使得.22.【解析】（1）时，因为关于的方程即无实数解，易知，故由，得，即的取值范围是.（2）时，即，不妨设，令因为时，所以在上至多一个解，若，则，就是的解，从而，这与题设矛盾.因此，.由得，所以，由得，所以.故当时，方程在上有两个解.由和消去得，因为，所以.
