1、第2讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式(一般不单独设置试题)是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要同等重视.真 题 感 悟 1.(2017江苏卷)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_.解析f(x)3x22ex3x2223x20且f(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数.又f(x)x32xexex(x32xex)f(x)
2、，故f(x)为奇函数，由f(a1)f(2a2)0，得f(2a2)f(1a)，2a21a，解之得1a，故实数a的取值范围是.答案2.(2018江苏卷)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_.解析f(x)6x22ax2x(3xa)(aR)，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，所以此时f(x)在(0，)内无零点，不满足题意.当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)单调递增，当x(0，1)时，f(x)0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极
3、值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围.(1)解由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3b.当x时，f(x)有极小值b.因为f(x)的极值点是f(x)的零点，所以f10，又a0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x
4、)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，).(2)证明由(1)知，.设g(t)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增.因为a3，所以a3，故g(a)g(3)，即.因此b23a.(3)解由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，因为f(x)的极值为ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)a0)，所以(x)a(x0)，当a0，解得0x0，解得x0；当0a0
5、，解得x0；当a1时，由(x)0，解得x0；当a1时，由(x)0，解得x.综上所述，当a1时，(x)的单调递增区间为.热点二利用导数研究函数的极值【例2】 (2017南通调研)设函数f(x)x2exk(x2ln x)(k为实常数，e2.718 28是自然对数的底数).(1)当k1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点，求k的取值范围.解(1)当k1时，函数f(x)(x2ln x)(x0)，则f(x)(x0).当x0时，exx2，理由如下：要使当x0时，exx2，只需使x2ln x，设(x)x2ln x，则(x)1，所以当0x2时，(x)0；当x2时，(x)
6、0，所以(x)x2ln x在x2处取得极小值，也是最小值(2)22ln 20，所以当x0时，x2ln x，所以exx20，所以当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，即函数f(x)在(0，2)上为减函数，在(2， )上为增函数，所以f(x)在x2处取得最小值f(2)22ln 2.(2)因为f(x)，当k0时，k0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k0.令g(x)，得g(x)，x(0，2)时，g(x)0；x(2，)时，g(x)0，则g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在x2处取得最小值为g(2)，且g(4)，x0时，g(x
7、)，于是可得yk与g(x)在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k.设yk与g(x)在(0，4)内的两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，且0x12x24，导函数f(x)及原函数f(x)的变化情况如下：x(0，x1)x1(x1，2)2(2，x2)x2(x2，4)4x202k0k0kf(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增，在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，所以f(x)在(0，4)上存在三个极值点.即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k的取值范围是.探究提高极值点的个数，一般是使f(x)0方程根的个数，一般情
8、况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究.【训练2】 (2018全国卷)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x.(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0时，f(x)0；(2)若x0是f(x)的极大值点，求a.(1)证明当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x).设函数g(x)f(x)ln(1x)，则g(x).当1x0时，g(x)0时，g(x)0.故g(x)在(1，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，f(x)0.所以f(
9、x)在(1，)单调递增.又f(0)0，故当1x0时，f(x)0时，f(x)0.(2)解()若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾.()若a0，设函数h(x)ln(1x).由于当|x|0，故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点当且仅当x0是h(x)的极大值点.h(x).如果6a10，则当0x，且|x|0，故x0不是h(x)的极大值点.如果6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1，0)且|x|min时，h(x)0；当x(0，1)时，h(x)0.所以x0是h(x)的极大值点
10、，从而x0是f(x)的极大值点.综上，a.热点三利用导数研究函数的最值【例3】 (2017浙江卷)已知函数f(x)(x)ex.(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围.解(1)f(x)(x)ex(x)(ex)ex(x)exex(1x)ex.(2)令f(x)(1x)ex0，解得x1或.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x1f(x)00f(x)e0e又fe，f(1)0，fe，则f(x)在区间上的最大值为e.又f(x)(x)ex(1)2ex0.综上，f(x)在区间上的取值范围是.探究提高含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大
11、小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.【训练3】 已知函数f(x)xln x.(1)求函数f(x)的单调区间和最小值；(2)若函数F(x)在1，e上的最小值为，求a的值.解(1)因为f(x)ln x1(x0)，令f(x)0，即ln x1ln e1，所以xe1，所以x.同理令f(x)0，可得x.所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.由此可知f(x)minf.(2)由F(x)，得F(x)，当a0时，F(x)0，F(x)在1，e上单调递增
12、，F(x)minF(1)a，所以a0，)，舍去.当a0时，F(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.若a(1，0)，F(x)在1，e上单调递增，F(x)minF(1)a，所以a(1，0)，舍去；若ae，1，F(x)在1，a上单调递减，在a，e上单调递增，所以F(x)minF(a)ln(a)1，ae，1；若a(，e)，F(x)在1，e上单调递减，F(x)minF(e)1，所以a(，e)，舍去.综上所述，a.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值
13、与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函
14、数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、填空题1.已知函数f(x)4ln xax26xb(a，b为常数)，且x2为f(x)的一个极值点，则a的值为_.解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax6，f(2)24a60，即a1，经验证符合题意.答案12.(2018苏州调研)函数f(x)x2ln x的单调递减区间为_.解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x时，(a1)2a20，则a，所以实数a的取值范围是1a，a的最大值是.答案6.(2017泰州期末)函数f(x)x33axa在(0，1)内有
15、最小值，则a的取值范围是_.解析f(x)3x23a3(x2a).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.当a0时，f(x)3(x)(x).当x(，)和(，)时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减，所以当1，即0a1时，f(x)在(0，1)内有最小值.答案(0，1)7.(2018南京学情调研)已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为_.解析因为函数f(x)在(1，2)上有极值，则需函数f(x)在(1，2)上有极值点.法一(导数法)令f(x)x22x2a0，由0得a，从而得x11，x21，因为x1(1，2)，因
16、此则需1x22，即112，即412a9，所以a4，故实数a的取值范围为.法二(图象法)f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1，2)上是单调递增函数，因此解得a4，故实数a的取值范围为.答案8.(2016北京卷)设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_.解析(1)当a0时，f(x)若x0，f(x)3x233(x21).由f(x)0得x1，由f(x)0得1x0.f(x)在(，1)上单调递增，在(1，0上单调递减，f(x)最大值为f(1)2.若x0，f(x)2x单调递减，所以f(x)f(0)0.综上，
17、f(x)最大值为2.(2)函数yx33x与y2x的图象如图.由(1)知，当a1时，f(x)取得最大值2.当a1时，y2x在xa时无最大值.且2a2.所以a1.答案(1)2(2)(，1)二、解答题9.(2017北京卷)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)f(x)excos xx，f(0)1，f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y10(x0)，即y1.(2)f(x)ex(cos xsin x)1，令g(x)f(x)，则g(x)2sin x
18、ex0在上恒成立，g(x)在上单调递减，g(x)g(0)0，f(x)0且仅在x0处等号成立，f(x)在上单调递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf.10.设函数f(x)k(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数).(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围.解(1)函数yf(x)的定义域为(0，).f(x)k.由k0可得exkx0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递减，x(2，)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，).(2)由(1)
19、知，k0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x(0，).因为g(x)exkexeln k，当0k1时，当x(0，2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增.故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递减.x(ln k，)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增.所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k).函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点当且仅当解得ek，综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.11.(2
20、018苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)(x1)ln xaxa(a为正实数，且为常数).(1)若函数f(x)在区间(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若不等式(x1)f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)(x1)ln xaxa，f(x)ln xa.因为f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)0，即aln x1(x0)恒成立.令g(x)ln x1，则g(x)，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)g(x)0g(x)极小值因此，g(x)ming(1)2，即0a2.所以a的取值范围为(0，2.(2)当0a2时，由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递增.又f(1)0，所以当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.故不等式(x1)f(x)0恒成立.若a2，则f(x).设p(x)xln x(1a)x1，令p(x)ln x2a0，则xea21.当x(1，ea2)时，p(x)0，p(x)单调递减，则p(x)p(1)2a0，则f(x)0，所以当x(1，ea2)时，f(x)单调递减，则当x(1，ea2)时，f(x)f(1)0，此时(x1)f(x)0，矛盾.因此，0a2.所以a的取值范围为(0，2.