1、4平面向量基本定理及坐标表示4.1平面向量基本定理课后篇巩固提升基础达标练1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为一组基的组数有()e1和e1+e2;e1-2e2和e2-2e1;e1-2e2和4e2-2e1;2e1+e2和e1-e2.A.1组B.2组C.3组D.4组解析设e1+e2=e1,则=1,1=0,无解,所以e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2可作为一组基;设e1-2e2=(e2-2e1),则(1+2)e1-(2+)e2=0,则1+2=0,2+=0,无解,所以e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e2-2e1可作为一组基;因为e1-2e2=-12(4e2
2、-2e1),所以e1-2e2与4e2-2e1共线,即e1-2e2与4e2-2e1不可作为一组基;设e1+e2=(e1-e2),则(1-)e1+(1+)e2=0,所以1-=0,1+=0,无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2与e1-e2可作为一组基.答案C2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基,R,a=e1+e2,b=2e1,则a与b共线的条件为()A.=0B.e2=0C.e1e2D.e1e2或=0解析因为e1,e2不共线,而a与b共线,所以=0.答案A3.设a,b为平面内所有向量的一组基,已知向量AB=a-kb,CB=2a+b,CD=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的
3、值等于()A.2B.-2C.10D.-10解析AD=AB+BC+CD=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.因为A,B,D三点共线,所以存在实数使得AB=AD,即a-kb=2a-(k+2)b=2a-(k+2)b.因为a,b为基向量,所以2=1,(k+2)=k,解得=12,k=2.答案A4.已知O是ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2OA+OB+OC=0,则()A.AO=ODB.AO=2ODC.AO=3ODD.2AO=OD解析由2OA+OB+OC=0,得2OA=-(OB+OC).因为D是BC的中点,所以OB+OC=2OD,于是2OA=-2OD,即AO=OD.答案A
4、5.(多选)如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个C.若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数,使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若实数,使得e1+e2=0,则=0解析由平面向量基本定理可知A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么平面内任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.对于C,当两向量均为零向量时,即1=2=1=2=0时,则这样的有无数个.故选BC.答案BC6.若e1,e2为平面内所有向量
5、的一组基,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基,则k的值为.解析因为a,b不能作为一组基,所以存在实数,使得a=b,即3e1-4e2=(6e1+ke2),则6=3,且k=-4,解得=12,k=-8.答案-87.(2020湖北浠水实验高级中学高一期末)设D为ABC所在平面内一点,AD=-13AB+43AC,若BC=DC(R),则=.解析因为D为ABC所在平面内一点,由AD=-13AB+43AC,可得3AD=-AB+4AC,即4AD-4AC=AD-AB,则4CD=BD,即BD=-4DC,可得BD+DC=-3DC,故BC=-3DC,则=-3.答案-3能力提升练1.已知平面内有一点P
6、及一个ABC,若PA+PB+PC=AB,则()A.点P在ABC外部B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上D.点P在线段AC上解析因为PA+PB+PC=AB,所以PA+PB+PC-AB=0,即PA+PB+BA+PC=0,所以PA+PA+PC=0,所以2PA=CP,所以点P在线段AC上.答案D2.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且OA=a,OB=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则PR等于()A.a-bB.2(b-a)C.2(a-b)D.b-a解析如图,a=12(OP+OQ),b=12(OQ+OR),相减得b-a=12(OR-OP).所以PR=2(b-a).答案B3.(
7、2020北京通州高一期末)在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()A.0,12B.0,13C.-12,0D.-13,0解析如图.依题意,设BO=BC,其中143,则有AO=AB+BO=AB+BC=AB+(AC-AB)=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,且AB,AC不共线,于是有x=1-13,0,即x的取值范围是-13,0.故选D.答案D4.如图,平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=13BC,以a,b为基表示向量AM=,HF=.解析在
8、平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=13BC,所以AM=AD+DM=AD+12DC=AD+12AB=b+12a,HF=AF-AH=AB+BF-12AD=a+13b-12b=a-16b.答案b+12aa-16b5.在ABC所在平面上有一点P,满足PA+PB+4PC=AB,则PBC与PAB的面积比为.解析PA+PB+4PC=AB=AP+PB,所以2PC=AP,即点P在AC边上,且AP=2PC,所以PBC与PAB的面积比为12.答案126.如图所示,在OAB中,OA=a,OB=b,M,N分别是OA,OB上的点,且OM=13a,ON=12b.设AN与BM交于点
9、P,用向量a,b表示OP.解设MP=mMB,NP=nNA,因为OP=OM+MP,OP=ON+NP,所以OP=OM+mMB=13a+mb-13a=13(1-m)a+mb,OP=ON+nNA=12(1-n)b+na.因为a与b不共线,所以13(1-m)=n,12(1-n)=m,解得m=25,n=15.所以OP=15a+25b.素养培优练已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得pOA+qOB+rOC=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.证明由题意可得r=-(p+q).所以pOA+qOB-(p+q)OC=0,即p(OA-OC)=q(OC-OB),pCA=qBC,所以pCA+qCB=0=0CA+0CB.由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,所以p=0,q=0,p+q=0.因为p+q+r=0,故有p=q=r=0.5