1、课时跟踪检测(五十五) 1已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2C8 D2答案：B解析：根据已知条件得c，则点在椭圆1(m0)上，1，可得m2.2抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8答案：C解析：y24x，F(1,0)，l：x1，过焦点F且斜率为的直线l1：y(x1)，与y24x联立，解得A(3,2)，AK4，SAKF424.3设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2x2上的两点，直线 l 是
2、AB的垂直平分线当直线 l 的斜率为时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是()A. B.C(2，) D(，1)答案：A解析：设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为yxb，过点A，B的直线可设为y2xm，联立方程得2x22xm0，从而有x1x21，48m0，m，又AB的中点在直线l上，即m1b，得mb，将mb代入，得b，所以直线 l 在y轴上的截距的取值范围是.4经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则()A3 BC或3 D答案：B解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y
3、21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，所以，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得.5已知斜率为2的直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于()A2 B2 C. D.答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程，得1，1，两式相减，得，2，ab，故双曲线是等轴双曲线，则离心率为.6在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点M，N的坐标分别为_答案：(2,4)，(1,1)解析：设直线MN的方程为yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，b.设M(x1，y1)，N(x2，y2
4、)，则x1x21，bb，由在直线yx3上，得b3，解得b2，联立解得7已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k_.答案：2解析：如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0知，MAMB，则|MP|AB|(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MPAGBH，所以GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以AFMAGM90，则MFAB，所以k2.8已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_答案：解析
5、：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y2(x1)由方程组消去y，整理得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x20.则|AB|.9设A，B分别为椭圆1(ab0)和双曲线1的公共顶点，P，M分别为双曲线和椭圆上异于A，B的两动点，且满足()，其中R，|1，设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k1，k2，k3，k4且k1k25，则k3k4_.答案：5解析：如图所示，满足()，其中R，|1，2(2)，O，M，P三点共线设P(x1，y1)，M(x2，y2)，k0，则1，1，k1k25，5.k3k45.10已知椭圆E：1(a
6、b0)的离心率为，右焦点为F(1,0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程解：(1)依题意可得解得所以椭圆E的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x1，不符合题意；当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(x1)联立得方程组消去y，整理得(12k2)x24k2x2(k21)0，所以x1x2，x1x2.所以y1y2k2.因为OMON，所以0，所以x1x2y1y20，所以k，即直线l的方程为y(x1)1中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所
7、得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案：C解析：由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y，得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系，得x1x2，由题意知，x1x21，所以1，解得a275，所以该椭圆方程为1.2如图，过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，C，D四点，则_.答案：1解析：不妨设直线AB的方程为y1，联立解得x2，则A(2,1)，D(2,1)，因为B(1,1)，C(1,1)，所以(1,0)，(1,0
8、)，所以1.3.已知中心在原点O，左焦点为F1(1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C1的方程为：1(mn0)，椭圆C2的方程为：(0，且1)，则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆如图，已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长|MN|的取值范围解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，直线AB的方程为1，F1(1,0)到直线AB的距离db，a2b27(a1)2，又b2a21，解得a2，b，故椭圆C的方程为1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为1，若切线l垂直于x轴，则其方程为
9、x2，易求得|MN|2.若切线l不垂直于x轴，可设其方程为ykxb，将ykxb代入椭圆C的方程，得(34k2)x28kbx4b2120，(8kb)24(34k2)(4b212)48(4k23b2)0，即b24k23，(*)设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将ykxb代入椭圆C2的方程，得(34k2)x28kbx4b2360，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|x1x2|，|MN|42.34k23，11，即2b0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线xy10与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C
10、上的一点，若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足t(O为坐标原点)，求实数t的取值范围解：(1)由题意知，以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy10的距离da，(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc，abc，代入(*)式，得bc1，ab，故椭圆C的方程为y21.(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，将直线l的方程代入椭圆方程，得(12k2)x28k2x8k220，64k44(12k2)(8k22)16k280，k2.设P(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，则x1x2，x1x2，对于t，当t0时，直线l为x轴，点P在椭圆上任意位置均符合题意当t0时，有x0，y0，点P在椭圆上，1，整理得t2，由k2知，0t24，t(2,0)(0,2)，综上可得，t的取值范围为(2,2)
