1、第3讲函数的奇偶性与周期性组基础关1(2019武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，)上单调递增的是()Af(x)exex Bf(x)tanxCf(x)x Df(x)|x|答案A解析f(x)|x|是偶函数，排除D；f(x)x在(0，)上先减后增，排除C；f(x)tanx在(0，)上不是单调函数，排除B；f(x)exex符合题意2函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示，则函数yf(x)g(x)的图象可能为()答案A解析因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以yf(x)g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x时，yf(x)g(x)0，所以只有选项A符合题意，故选A.3(20
2、20烟台适应性练习)已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，且满足f(x)若ff，则f(5a)等于()A. B C. D.答案B解析由于函数f(x)的周期为2，所以ffa，ff，所以a，所以a，因此f(5a)f(3)f(1)1.故选B.4已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)()A2 B3 C4 D5答案D解析yf(x)x是偶函数，f(x)(x)f(x)x，f(x)f(x)2x，令x2，则f(2)f(2)45，故选D.5(2019成都模拟)若函数f(x)1的图象关于原点对称，则实数a等于()A2 B1 C1 D2答案A解析由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，
3、即110,1a12a0，解得a2.6(2019合肥模拟)已知偶函数f(x)在0，)上单调递增，则对实数a，b，“a|b|”是“f(a)f(b)”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(|b|)f(b)因为f(x)在0，)上单调递增，a|b|0.所以f(a)f(|b|)f(b)若f(a)f(b)举反例f(3)f(3)f(1)，而3|1|.故由f(a)f(b)无法得到a|b|.所以“a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要条件7(2020沈阳市高三质检)已知函数f(x)，实数a，b满足不等式f(2ab)f(43b)0，则
4、下列不等关系恒成立的是()Aba2 Ba2b2Cba2 Da2b2答案C解析由题意知f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f(x)1，所以f(x)在R上为减函数，由f(2ab)f(43b)0，得f(2ab)f(43b)f(3b4)，故2ab3b4，即ba2.故选C.8已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)lg x，则f的值为_答案lg 2解析由已知得flg 2.f(2)f(2)lg2，所以flg2.9已知奇函数f(x)(xR)满足f(x4)f(x2)，且当x3,0)时，f(x)3sinx，则f(2021)_.答案4解析因为函数f(x)(xR)为奇函数满足f(x4)f(x2)，所以
5、f(x6)f(x)，即函数f(x)是以6为周期的周期函数，因为当x3,0)时，f(x)3sinx，所以f(2021)f(33761)f(1)3sin4.10(2020甘肃天水摸底)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)log2(x1)，则函数f(x)在1,2上的解析式是_答案f(x)log2(3x)解析因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，当x0,1时，f(x)log2(x1)所以设x1,2，则x21,0，2x0,1所以f(2x)log2(2x)1log2(3x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x2)f(2x)log2(3x)组能力关1已知p：a1，q：函数
6、f(x)ln (x)为奇函数，则p是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析若函数f(x)ln (x)为奇函数，则f(x)f(x)ln (x)ln (x)ln a20，解得a1.所以p是q成立的充分必要条件2已知函数f(x)是定义在区间a，a(a0)上的奇函数，若g(x)f(x)2019，则g(x)的最大值与最小值之和为()A0 B1 C2019 D4038答案D解析因为函数f(x)是定义在区间a，a上的奇函数，所以f(x)maxf(x)min0，所以g(x)maxg(x)minf(x)max2019f(x)min2019f(x)maxf(
7、x)min40384038.3(2019南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)答案C解析若x2,0，则x0,2，当x0,2时，f(x)x1，f(x)x1，f(x)是偶函数，f(x)x1f(x)，即当x2,0时，f(x)x1，即在一个周期2,2内，f(x)若x2,4，则x42,0，即f(x)f(x4)(x4)1x3，x2,4，作出函数f(x)在2,4上的图象如图：则当x1,3时，不等式xf(x)0等价为或即1x3或1x0在1,3上的解集为(1,0)(1
8、,3)4已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有0，记a，b，c，则()Aacb BabcCcba Dbca答案A解析设00，得，所以函数g(x)在(0，)上单调递减，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，因此ag(4.10.2)g(1)，bg(0.42.1)g(0.42)g(0.5)，cg(log0.24.1)g(log4.1)g(log54.1)g(log54.1)(g(1)，g(0.5)，即acb，故选A.5(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在2,0上是增函数，下面关于f(x)的判断正确
9、的是()Af(x)的图象关于点P(1,0)对称Bf(0)是函数f(x)的最大值Cf(x)在2,3上是减函数Df(x0)f(4kx0)，kZ答案ABD解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)，又f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以A正确；由f(x2)f(x)知，f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)f(4kx0)(kZ)，所以D正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在2,0上是增函数，所以f(x)在2,4上也是增函数，因此C不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以B正确所以正确的判断是ABD.6若函数f(x)x为偶函数，则a_，函数在区间(0，)上的单调性为_答案1或1单调递增解析令u(x)1，根据函数f(x)x为偶函数，可知u(x)1为奇函数，利用u(0)10，可得a21，所以a1或a1.所以函数为f(x)x，在(0，)上，随x增大，1在增大，故在(0，)上，单调递增